Bài tập môn Hình học Lớp 9 (Có hướng dẫn giải)

1

Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm AB, đường thẳng qua I vuông góc AO và cắt cạnh AC tại J. Chứng minh bốn điểm B, C, J và I cùng thuộc một đường tròn.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Kẻ tiếp tuyến x’Ax với đường tròn O)

Ta có (so le trong) (1)

Mà (2)(1) và (2)

Tứ giác BCJI nội tiếp được. Hay bốn điểm B, C, J và I cùng thuộc một đường tròn.

Bài 5. Cho đường tròn (C) có tâm I và có bàn kính . Xét điểm M thay đổi sao cho . Hai dây AC, BD đi qua điểm M và vuông góc với nhau (A, B, C, D thuộc (C)). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Kẻ , và

có có IHMK là hình chữ nhật (3 góc vuông)

khi và hai dây cách tâm I một khoảng

Ax OA  Ax OA IJ IJ OA

Ax      

P · ¶ BAx AIJ 

· · » BAx ACB AB 1 sủ 2   ¶ · AIJ ACB 



R 2a  IM a 

IH AC  IK BD  HA = HC = AC 1 2 KB = KD = BD 1 2 AIH  AH R IH a IH 2 2 2 2 2 4     AC a IH 2 2 2 16 4   BIK  BK R IK a IK 2 2 2 2 2 4     BD a IK 2 2 2 16 4   IH IK IM = a 2 2 2 2     AC BD a IH IK a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 32 4 32 4 28       

ABCD

AC + BD a S = AC.BD a

2 2 2

2 1 28 7 2 4 4    

   ABCD Max S a2 7  AC = BD

DeThi.edu.vn

2

Vậy : .

Bài 5. Cho đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B,C là tiếp điểm ) . Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với (O) ( AM< AN , MN không đi qua O) . Gọi I là trung điểm của NM.

1) Chứng minh rằng: Tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi H là giao điểm của AO và BC .Chứng minh rằng: AH.AO = AM.AN và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN , cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F . Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Do I là trung điểm của MN nên ( Đl đường kính và dây)

Do d là tiếp tuyến của (O) nên

Xét tứ giác AIOC có Suy ra tứ giác OKNF nội tiếp ( tổng hai góc đối bằng 1800) Chứng minh AM.AN = AB2 ( do hai tam giác ABM và tam giác ANB đồng dạng ) Chứng minh AH.AO = AB2 ( do hệ thức lượng trong tam giác OBA) Suy ra AM.AN = AH.AO Vì AM.AN = AH.AO suy ra tam giác AMH đồng dạng tam giác AMO ( theo trường hợp c.g.c) Suy ra góc AHM = góc ANO suy ra tứ giác MNOH nội tiếp một đường tròn . Gọi K là giao điểm của BC và AN

Vì ME // BN ( theo định lí Tallet) (1)

Vì MF // BN ( theo định lí Tallet) (2)

Chứng minh HK là phân giác của tam giác MHN HA là phân giác góc ngoài của tam giác MHN

Suy ra ( t/c phân giác góc trong và góc ngoài) (3)

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra EM = FM hay M là trung

điểm của EF

IH = IK = a 2 2   ABCD Max S a2 7 

OI MN  · 0 OIA 90  

OC AC  · 0 OCA 90   · · 0 0 0 OIA OCA 90 90 180     

EM AM BN AN 

FM KM BN KN 

AM KM AN KN 

EM FM BN BN 

K

DeThi.edu.vn

3

Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF. 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Vì BE, CF là các đường cao của ABC nên: E, F thuộc đường tròn đường kính BC Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. Cách 1: Vẽ đường kính AD của (O), AD cắt EF tại J. Vì BCEF là tứ giác nội tiếp

Mà

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

tại J Cách 2:

Qua A, vẽ tiếp tuyến xy của (O)

Vì BCEF là tứ giác nội tiếp

Do đó xy // EF Mà (tính chất tiếp tuyến)

Cách 3: Tia BE cắt (O) tại M, tia CF cắt (O) tại N Vì BCEF là tứ giác nội tiếp (tính chất góc nội tiếp)

(liên hệ giữa cung và dây)

Dễ chứng minh MN // EF

 · · o BEC BFC 90    

µ · · o 1 E ABC ( 180 CEF)     · µ » µ µ 1 1 1 1 ABC D sđAC E D 2           · o ACD 90  µ µ µ µ · o o o 1 1 1 1 A D 90 A E 90 AJE 90         OA EF  

µ · » 2 1 A ABC sđAC …