Lời giải câu 3 trong đề thi học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 năm 2019 huyện Lâm Thao

Câu 3. (4,0 điểm). ( HSNK8 Lâm Thao-2019

1. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho

CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở N, M

a) Chứng minh rằng CN. DM = a2

b) Gọi K là giao điểm của MA và NB. Chứng minh rằng.

c) Tìm vị trí của E và F để MN nhỏ nhất.

2. Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động sao cho BM =

CN. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AMN di động trên một đường cố định.

Hướng dẫn

1.a)AB//CD suy ra .

b) Ta có từ câu a) đồng dạng (c.g.c)

. Vậy c) Ta có (Áp dụng bất đẳng thức cosi). Vây min MN = 3a khi CN = DM thi E, F là trung điểm BC, AD 2.Gọi I, F, E là trung điểm MN, BN, BC và IE cắt AC, AB tại L, P. Ta có IF, FE là đường trung bình của tam giác BNM, BNC

Vì BM = CN suy ra tam giác EFI cân . cân. Gọi Ax là tia phân giác góc BAC .Gọi K là trọng tâm tam giác ABC ta có G là trọng tâm tam giác

K

D N M

B

C

A

E F

· 0 90 MKN 

2 . CN CE FA AB CN DM a AB BE FD DM     

CN DA BC DM   BCN  MDA  · · CNB DAM   · · 0 90 KMN KNM   · 0 90 MKN 

2 . 2 3 MN MD CD CN CD MD NC a a a        

1 IF / / , 2

1 / / ,EF 2

BM FI BM

va FE NC NC

 



· · · · FIE FEI APL ALP ALP      Ax//PL 

DeThi.edu.vn

AMN

Vậy khi M, N di động trên AB, AC thi G di động đông trên KQ cố định

x

Q

P

L

F

I

E

A

B C

K M

N

G

2 / / / Ax 3 AK AG KG IE KG AE AI     

DeThi.edu.vn