Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ

BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

May 21st, 2013 [Giasudhsphn.com] – Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn. I/ Bài tập vận dụng cho các hằng đẳng thức (1), (2), (3), (4). Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau: a) 127² + 146.127 + 73²

b) 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1)

c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

Lời Giải a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73² = (127 + 73)² = 200² = 40000 .

b) B = 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) = 188 – (188 – 1) = 1

c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 = 5050.

d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn? a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232

b) A = 1989.1991 và B = 19902

Lời Giải a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 232 – 1.

=> Vậy A < B.

DeThi.edu.vn

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng: a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x² – 4x + 1

b) B = 4x² + 4x + 11

c) C = 3x² – 6x – 1

Lời Giải

a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3

Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(Amin) = -3 khi và chỉ khi x = 2. b) B = 4x² + 4x + 11 = (2x + 1)² + 10

Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.

c) C = 3x² – 6x – 1 = 3(x – 1)² – 4

Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.

Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p – a)

Lời Giải Ta sẽ đi biến đổi VP.

VP = 2p(2p – 2a) = (a + b + c)( a + b – c) = ( b + c )² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT (đccm)

Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.

Lời Giải Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có:

(x + 2)² – x² = 36

<=> x² + 4x + 4 – x² = 36

DeThi.edu.vn

<=> 4x = 32

<=> x = 8

=> số thứ 2 là 8+2 = 10

Đáp số: 8 và 10

Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74

Lời Giải Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0)

Vậy ta có: x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74

Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:

x² = 25 <=> x = -5 , x = 5

So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m).

Vậy đáp số: 4, 5, 6.

II/ Bài tập tự giải Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: a) (a² – b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²

b) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²

Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: (p – a)² + (p – b)² + (p – c)² = a² + b² + c² – p²

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 5 – 8x – x²

b) 4x – x² + 1

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức: a) x² – 10x + 26 với x = 105

b) x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9

Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy. Đ/S: 9 và 11.

Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca. Đ/S: ab + bc + ca = 14.

DeThi.edu.vn