Bài tập Hình học Lớp 8 - Huyền Trang

Cho tam giác ABC, trung tuyến BI và CQ. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Lấy D là điểm

nằm giữa B và C. Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với CQ cắt AB và BG lần lượt tại E và

H. Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với BI cắt AC và CG lần lượt tại F và K. EF cắt BI,

CQ theo thứ tự tại M và N. Chứng minh:

a) EM = MN = NF.

b) DG đi qua trung điểm của MN.

c) ( với và lần lượt là diện tích của tứ giác DHGK và tam giác ABC)

Hướng dẫn

(Cách này hay hơn, hôm qua thầy giải vội cách giải chưa hay )

a)Ta có

ta có các tứ giác EHNK,MHKF;GHDK là hình bình hành

do G là trọng tâm nên ;

đồng dạng (g,g) suy ra (4)

đồng dạng (g,g) suy ra (5)

1

1 6 S S  1S S

J

O

K

H

N F

E

D

M

Q

G

I

C B

A

(1); (3)

(3) (1);(2)(3) /

EH BH HD EH QG FK CK KD FK GI GQ BG GC HD GC GI CG GB KD GB QG GI EH FK tu HK FE GC GB HD KD

       

   

ABC  1 2 EH QG HD GC   1 2 FK GI KD GB  

EHM  HDK  1 1 2 2 EM EH EM HK HK HD    

FNK  KHD  1 1 2 2 FN FK FN HK HK KD    

DeThi.edu.vn

Từ (4) và (5) suy ra ME=NF mặt khác ( do EHKN là hình bình hành) mà

vậy EM=MN=FN

b) Gọi O là giao HK và GD; J là giao MN và GD suy ra OH=OK

Xét GHO có JM//OH; GKO có JN//OK theo hệ quả Talét ta có

Hay DG đi qua trung điểm của MN.

c) Trước hết chứng minh

Đặt BD=x;DC=y

Do G là trọng tâm tam giac ABC nên

Suy ra dấu “=” xảy ra khi hay D là trung điểm BC

EN HK  1 1 2 2 EM HK EM EN EM MN     

  MJ JG JN do OH OK JM JN HO GO OK     

1 2

BGC S S 

   

 

     

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

; ;

2 2 2 1 S . . 1 1 . 4 2

1 : S 2

BHD CKD

BGC BGC

BHD CKD BGC BGC BGD BGC

DHGK BGC DHGK BGC BHD CKD

S BD x S CD y S BC S BC x y x y

x y xy x y xy xy S S S S S xy x y x y x y

S S vi S S S

                 

                  

    

1 1 1 1 . 3 2 3 6 BGC ABC GHDK ABC ABC S S S S S    

1

1 6 S S  x y 

DeThi.edu.vn