Bồi dưỡng học sinh khá giỏi - Chuyên đề Các phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau - Phạm Thị Xuân

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIÊN DU

TRƯỜNG THCS HIÊN VÂN

Chuyên đề:

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

* BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI

PHẠM THỊ XUÂN (chủ biên)

TẠ HỮU HUY (TKBC)

TRẦN VĂN TIỆP (NCLG&HD)

NGUYỄN HUYỀN TRANG (TKVH)

NGHIÊM THỊ BÌNH (STBT)

DeThi.edu.vn

CHUYÊN ĐỀ :

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

∆ ABC và ∆ A’B’C’ có:

<=> ∆ ABC = ∆ A’B’C’ .

2. Ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác (trình bày ở phần phương pháp)

3.Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (trình bày ở phần phương pháp) 4. Tam giác cân

a. Định nghĩa: ∆ ABC cân tại A  AB = AC. b. Tính chất: * ∆ ABC cân tại A => AB = AC

* ∆ ABC cân tại A => c. Dấu hiệu nhận biết: * ∆ ABC có AB = AC => ∆ ABC cân tại A

* ∆ ABC có => ∆ ABC cân tại A

5. Thừa nhận tính chất của ba đường cao, ba đường trung tuyến,ba đường phân giác, ba đường

trung trực của tam giác.

  

    

  

C C B B A A

C B BC C A AC B A AB

ˆ ˆ ;'ˆ ˆ ; ˆ ˆ

' ' ;' ' ;' '

C B ˆ ˆ 

C B ˆ ˆ 

DeThi.edu.vn

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 1.Phương pháp 1: Trường hợp bằng nhau thứ nhất cạnh-cạnh- cạnh (c.c.c) a.Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

∆ ABC và ∆ A’B’C’ có:

AB = A’B’

AC = A’C’

BC = B’C’

=> ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.c.c)

DeThi.edu.vn

Ví dụ 1:( Bài 65-Trang 89-Sách Bồi dưỡng Toán 7- tập 1)

Cho ∆ABC (AB<AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Các

đường trung trực của BC và DE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng ∆ BOD =∆ COE.

Giải:

Xét ∆ BOD và ∆ COE có:

BD = CE (giả thiết)

OB = OC (vì O nằm trên trung trưc của BC)

OD = OE (vì O nằm trên trung trưc của DE)

Vậy ∆ BOD = ∆ COE (c.c.c)

b.Hệ quả

Nếu cạnh huyền và môt cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc

vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

∆ ABC và ∆A’B’C’:

= 900

BC =B’C’

AC = A’C’

 ∆ABC = ∆ A’B’C’(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Ví dụ 2: (Bài 318 Trang 159 sách 405 bài tập toán 7)

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH  BC tại H. Chứng minh rằng:∆AHB = ∆AHC

Giải

Xét :∆AHB (  AHB = 900) và ∆AHC (  AHC = 900) có:

AB = AC ( ∆ABC cân tại A)

AH là cạnh chung

 ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

C B ˆ ˆ 

DeThi.edu.vn

c) Một số bài tập áp dụng

Bài 1: (Bài 63 Tr 88 - sách Bồi dưỡng Toán 7 Tập 1)

Cho ∆ ABC , .Trên cạnh AC hãy xác định điểm O sao cho OB = OC và trên tia đối của tia

OB xác định điểm A’ sao cho OA’ = OA. Chứng minh: ∆ ABC = ∆ A’BC.

Giải

Xét ∆ OAB và ∆ OA’C có :

OB = OC (giả thiết)

(đối đỉnh)

OA = OA’ (giả thiết)

Suy ra : ∆ OAB = ∆ OA’C (c.g.c)

=> AB = AC’ (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ ABC và ∆ A’CB có :

BC là cạnh chung

AB = A’C (chứng minh trên)

Vì O là điểm nằm giữa 2 điểm A , C và A’ , B

Nên BA’ = CA

Vậy ∆ ABC = ∆ A’CB (c.c.c)

Bài 2:(Bài 64 Tr 88 - Sách Bồi dưỡng Toán 7 Tập 1)

Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn và đường cao AH. Dựng điểm D sao cho AB là đường trung trực

của đoạn HD rồi dựng điểm E sao cho AC là đường trung trực của đoạn thẳng HE. Nối DE cắt AB ở I

và cắt AC ở K. Chứng minh rằng:

a, AD = AE

b, ∆AID=∆AIH.

Giải

a, Vì AB là đường trung trực của đoạn HD nên: AD = AH (1)

Vì AC là đường trung trực của đoạn HE nên: AH = AE (2)

Từ (1) và (2) : AD = AE .

b, Xét ∆ AID và ∆ AIH có :

AI là cạnh chung

C B ˆ ˆ 

2 1 ˆ ˆ O O 

DeThi.edu.vn