Bài tập Số học Lớp 6 Dãy số

Dãy Số Viết theo quy luật Bài toán 1 : Tính các tổng sau 1. A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 2. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100

Giải : 1. 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi đó : 2A – A = 211 – 1 2. 3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi đó : 3B – B = 2B = 3101 – 1 .

Vậy B = Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là :

Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 và n ∈ Z+ Nhân 2 vÕ của S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Rồi trừ cho S ta được :

aS – S = ( a – 1)S = an+1 – 1 . VËy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an = .

Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) . Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau:

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3 d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008 Bài toán 2 : Tính các tổng sau A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799

Giải : 1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . Vấn đề đặt ra là nhân hai vÕ của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vÕ với 32 , rồi trừ cho A ta được : 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100

32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . Vậy A = ( 3102 – 1): 8 Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8 2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vÕ của B với 72 rồi trừ cho B , ta được : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799

72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . Vậy B = ( 7101 – 7) : 48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48 Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :

A = 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + ... + 22009 B = 1 + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + ... + 2200 C = 5 + 53 + 55 + 57 + 59 + ... + 5101 D = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + ... + 1399 Tổng quát : Tính *

b) , với ( )

2 3 2007 2 3 100 ) 1 7 7 7 ... 7 ) 1 4 4 4 ... 4 a A b B            

2 4 6 2 1 1 ... n S a a a a      2, a n N  

DeThi.edu.vn

c) , với ( ) Bài tập khác : Chứng minh rằng : a. A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 260 chia hết cho 21 và 15 b. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34+ … + 311 chia hết cho 52 c. C = 5 + 52 + 53 + 54 + …+ 512 chia hết cho 30 và 31

Bài toán 3 : Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10

Lời giải 1 : Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân 2 vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được : 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990. A = 990/3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát sau : A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3 Lời giải khác :

Lời giải 2 : 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Ta có kết quả tổng quát : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Bài tập vận dụng : Tính các tổng sau : 1. P = 12 + 32 + 52 + 72 + ... + 992 2. Q = 112 + 132 + 152 + … + 20092. 3. M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 99.100

Bài toán 3 : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11. Tính giá trị của C.

Giải : Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3 Theo cách giải 2 …