Bài tập ôn tập Toán 6 - Chuyên đề dãy số

BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN 6- CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ

Bài 1. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.

Lời giải: Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:

S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = .

Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004.

Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010

Bài 2. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Lời giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:

Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2

a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3

a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4

…………………..

an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n

an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)

3 = n(n + 1)(n + 2) A =

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]

= 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) -

- (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A =

* Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Bài 3. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)

Lời giải: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4

= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) -

[(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

B =

( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a          



 

 

 

 

 

  1.2 2.3 ... ( 1) n n      ( 1)( 2) 3 n n n  

 ( 1)( 2) 3 n n n  

 ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n   

DeThi.edu.vn

Bài 4. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Lời giải: Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3)

3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3)

……. n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n

= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n

= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =

= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =

= n(n + 1)(n + 2) + C= =

Bài 5. Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2

Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +

+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + 2

+ 3 + … + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: A = và 1 + 2 + 3 + … + n =

12 + 22 + 32 + … + n2 = = - =

Bài 6. Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3

Lời giải; Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)

+ … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) =

= (23 + 33 + … + n3) - (2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -

- (1 + 2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -

(13 + 23 + 33 + … + n3) = B + Mà ta đã biết B =

E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = + =

Cách 2: Ta có: A1 = 13 = 12

A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2

A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2

Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + 2 + 3 + … + k)2 (1) Ta chứng minh:

Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + … + (k + 1)]2 (2)

3(2 2) 2 n n   ( 1)( 2) 3(2 2) 3 2 n n n n n     ( 1)( 5) 3 n n n  

( 1)( 2) 3 n n n   ( 1) 2 n n 

 ( 1)( 2) 3 n n n   ( 1) 2 n n  ( 1)(2 1) 6 n n n  

( 1) 2 n n  

( 1) 2 n n  ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n   

 ( 1) ( 1)( 2) 4 n n n n    ( 1) 2 n n 

2 ( 1) 2 n n       

DeThi.edu.vn