Tuyển tập bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác trong các đề thi (Có đáp án chi tiết)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

TUYỂN TẬP BÀI TOÁN

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI

CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bài 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:)

1) ( )( ) 3 3 sin x cos x sin x cosx 1 sin x.cosx + = + −

2) ( )( ) 3 3 sin x cos x sin x cosx 1 sin x.cosx − = − +

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

1) 2 2 2 cos sin 1 2sin    − = − 5) 2 2 2cos 1 1 2sin   −= −

2) 2 2 3 4sin 4cos 1   − = − 6) sin cot cos tan sin cos       + = +

3) 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos     + = − 7) 4 4 2 2 cos sin cos sin     − = −

4) 3 3 sin cos sin cos sin cos       + = 8) 4 4 2 2 sin cos 1 2cos 2sin 1     − = − = −

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

1) 1 tan cot sin cos x x x x + = 6) 1 cos sin sin 1 cos x x x x − = +

2) 1 1 1 1 tan 1 cot x x + = + + 7) 2 1 1 1 1 tan 0 cosx cosx x    − + + =      

3)

2

2 2 1 sin 1 2tan 1 sin

x x x + = + − 8) tan tan tan tan cot cot x y x y x y + = +

4) 4

2 4 2 1 1 cot sin sin x x x − = − 9) cos 1 tan 1 sin cos x x x x + = +

5) sin 1 cos 2 1 cos sin sin x x x x x + + = +

DeThi.edu.vn

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

Bài 4. Cho tam giác ABC . Chứng minh đẳng thức sin cos 2 2 A C B .

Bài 5. Chứng minh đẳng thức sau: 4 4 2 sin cos 1 2cos x x x − = − .

Bài 6. Chứng minh đẳng thức:

( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos 5 404 sin .cos 2022 x x x x x x + + + + + = .

Bài 7. Chứng minh đẳng thức: ( ) 2 2 2 2 3 sin sin 2 sin sin 4 2 4 x x x x           + + + = − + − +            

.

Bài 8. Chứng minh rằng với mọi góc  làm cho biểu thức sin tan cos cot     +

+

có nghĩa, biểu thức đó không

thể là một số âm.

Bài 9. a) Chứng minh: 1 sin .cos .cos2 .cos4 sin8 8 x x x x x = .

b) Áp dụng tính: 0 0 0 0 sin6 .sin42 .sin66 .sin78 A = , 3 5 cos .cos .cos 7 7 7 B    = .

Bài 10. a) Chứng minh: x x x 4 3 1 1 sin cos2 cos4 8 2 8 = − + .

b) Áp dụng tính: S 4 4 4 4 3 5 7 sin sin sin sin 16 16 16 16     = + + + .

Bài 11. a) Chứng minh: − = 1 cos2 tan sin2

x x x

.

b) Áp dụng tính: S 2 2 2 3 5 tan tan tan 12 12 12    = + + .

Bài 12. Chứng minh các công thức sau

a) sin 1 cos 2 1 cos sin sin      + + = +

b)

2 2

6 2 2 tan sin tan cot cos      − = −

c) 1 sin .cos tan cot    = +

d) 2 2 2 2 2 sin tan 4sin tan 3cos 3      + − + =

e)

2

4 4 2 1 tan a cos a sin a 1 tan a − = − + f) 2 2 2 2 tan sin tan .sin a a a a − =

Bài 13. Chứng minh:

a) 3 3 3 sin3 .sin cos3 .cos cos 2 x x x x x + =

b) 1 cos 1 cos 2cot 0 1 cos 1 cos 2 x x x x x x

 + −   − =     − +  

Bài 14. Chứng minh các công thức sau

a)

2

2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1         + − = + − −

b) 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos sin      − + + = + −

Bài 15. Chứng minh các đẳng thức sau:

DeThi.edu.vn

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

1) x x x x x x x

2 2 4

4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin

− + = − +

6) x x x x x 2 (tan2 tan )(sin2 tan ) tan − − =

2) x x x x

2 2 6 2cos4 tan cot 1 cos4

+ + = −

7) x x x x x x 1 cos 1 cos 4cot 1 cos 1 cos sin + − − = − +

3) x x x x x x

2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan − − = + + 8) x x x 0 0 cos cos(120 ) cos(120 ) 0 + − + + =

4)

x x

x x x

2 cos 2cos 4 tan 2sin 2 sin 4





  − +    =   + −    

9)

x x

x x x

2 2

2 2

3 cot cot 2 2 8 3 cos .cos . 1 cot 2 2

−

=   +    

5) x x x x 6 6 2 1 cos sin cos2 1 sin 2 4   − = −     10) x x x x 4 4 cos sin sin2 2 cos 2 4    − + = −     Bài 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos ) x x x x + − +

b) 6 4 2 2 4 4 cos 2sin cos 3sin cos sin x x x x x x + + +

c) 3 cos .cos cos .cos 3 4 6 4 x x x x             − + + + +                

d) 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 x x x       + + + −        

Bài 17. a) Chứng minh: 1 cot cot2 sin2    − = .

b) Chứng minh: x x x x x x 1 1 1 1 cot cot16 sin2 sin4 sin8 sin16 + + + …