Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ:

HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0 ³ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào

đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.

n P n! 1.2...n = = . Quy ước: 0! = 1. Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp.

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

Giải

Gọi 1 2 3 4 5 A a a a a a = với 1 a 0 ¹ và 1 2 3 4 5 a , a , a , a , a phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số 1 a 0 ¹ nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số.

2. Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0 ³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0 k n £ £ phần tử của X và

sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k

của n phần tử được ký hiệu là k n A .

k n

n! A (n k)! = - .

Nhận xét:

n n n A n! P = = .

Ví dụ 3. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7.

Vậy có 5 7

7! A 2520 (7 5)! = = - cách sắp.

Ví dụ 4. Từ tập hợp { } X 0; 1; 2; 3; 4; 5 = có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Giải

Gọi 1 2 3 4 A a a a a = với 1 a 0 ¹ và 1 2 3 4 a , a , a , a phân biệt là số cần lập.

+ Bước 1: chữ số 1 a 0 ¹ nên có 5 cách chọn a1.

+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để sắp vào 3 vị trí 3 5 A cách.

Vậy có 3 5 5A 300 = số.

3. Tổ hợp Định nghĩa

DeThi.edu.vn

Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( ) n 0 ³ . Mỗi cách chọn ra k ( ) 0 k n £ £ phần tử của X được

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C .

k n

n! C k!(n k)! = - .

Ví dụ 5. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.

Giải Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có 4 10 C 210 = cách chọn.

Ví dụ 6. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách.

- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có 2 5 C .

Suy ra có 2 5 3C cách chọn. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam.

- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có 2 3 C cách. - Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5.

Suy ra có 2 3 5C cách chọn. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách.

Vậy có 2 2 5 3 3C 5C 1 46 + + = cách chọn.

Ví dụ 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.

Giải

Gọi 1 2 3 4 A a a a a = với 1 2 3 4 9 a a a a 0 ³ > > > ³ là số cần lập.

{ } X 0; 1; 2; ...; 8; 9 = .

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có 4 10 C 210 = số.

Nhận xét: i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.

4. Phương pháp giải toán

4.1. Phương pháp 1

Bước 1. Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai đoạn. Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.

DeThi.edu.vn