Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Bài 2 Phương trình lượng giác - Lê Đình Năng

Trường THPT Lý Thái Tổ Thầy giáo Lê Đình Năng (0987.898.225)

Học, học nữa, học mãi Trang 1

BÀI 2. Phương trình lượng giác A-KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NHỚ 1) Công thức cơ bản:

;

2) Hai góc liên quan đặc biệt( ‘sin bù’, ‘cos đối’, ‘phụ chéo’, ‘hơn nhau pi tang, côtang)

Bù nhau:

và x

Hơn nhau : và x

Đối nhau:

và

Phụ nhau:

và x

Hơn nhau :

và x

3) Công thức cộng (‘cos .cos +-sin sin => cos-+; sin cos +- cos sin=>sin+-; .)

Hệ quả:

Công thức nhân đôi: , Công thức nhân ba:

Công thức hạ bậc: ,

Đẳng thức ;

4) Công thức biến đổi tích thành tổng:

5) Công thức biến đổi tổng thành tích:

Hệ quả:

2 2 sin cos 1 x x   sin tan cos

x x x  cos cot sin

x x x  tan .cot 1 x x  2

2 1 tan 1 cos x x  2

2 1 cot 1 sin x x 

sin( 2 ) sinx x k    cos( 2 ) cos x x k    tan( ) t anx;cot(x+k )=cotx x k   

x 

 x   x  x 2 x 

2 

2 x  

sin( ) sinx cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

x

x x x x x x



  

       

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

x x x x x x x x



  

       

cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot

x x x x x x x x

       

cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

tan( ) cot 2

cot( ) tan 2

x x

x x

x x

x x









 

 

 

 

sin( ) cos 2

cos( ) sin 2

tan( ) cot 2

cot( ) tan 2

x x

x x

x x

x x









 

 

 

 

cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) x y x x x y x y x y x y      

sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) x y x y x y x y x y x y      

tan tan tan( ) 1 tan .tan

x y x y x y x y x y x y

  

  

1 tan 1 tan tan ; tan 4 1 tan 4 1 tan x x x x x x                      

2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin x x x x x     sin 2 2sin .cos x x x 

3 3 cos3 4cos 3cos ; sin3 3sin 4sin x x x x x x    

2 1 cos2 cos 2

x x   2 1 cos2 sin 2

x x   2 1 cos2 tan 1 cos2

x x x  

4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x   6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x  

1 cos cos [cos( ) cos( )] 2

1 sin sin [cos( ) cos( )] 2

x y x y x y

x y x y x y

   

   

1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos .sin [sin( ) sin( )] 2

x y x y x y

x y x y x y

   

   

cos cos 2cos cos 2 2

cos cos 2sin sin 2 2

x y x y x y

x y x y x y

   

   

sinx sin 2sin cos 2 2

sin sin 2cos sin 2 2

x y x y y

x y x y x y

   

   

  sin cos 2.sin 2.cos 1 ; sin cos 2.sin 2.cos 2 4 4 4 4 x x x x x x x x                                  

   

DeThi.edu.vn

Trường THPT Lý Thái Tổ Thầy giáo Lê Đình Năng (0987.898.225)

Học, học nữa, học mãi Trang 2

I.Phương trình lượng giác cơ bản (Dạng 1) 1) (1) ( Bấm ) +)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |sinx| 1 với x R. +)|m| 1, (1) có nghiệm nếu có đẹp sao cho m=sin, thì

(k Z).

Nếu -lẻ thì ta dùng hàm ngược arcsin(m)

.

3 trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

 , k Z;

 , k Z;

 , k Z.

Với .

(a)

2) (2) ( Bấm ) +)|m|>1 (1) vô nghiệm vì |cosx| 1 với x R. +)|m| 1, nếu có đẹp sao cho , thì

(k Z).

Nếu -lẻ thì dùng hàm ngược arccos(m)

Trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

 , k Z;

  2 1 cos k x x    , k Z;  , k Z.

(b)

3) tanx=m (3) ( Bấm ) Với mọi m thì phương trình (3) luôn có nghiệm Nếu - đẹp sao cho thì

, k Z. Nếu - lẻ thì .

(c)

4) cotx=m (4) ( Bấm ) Với mọi m thì phương trình (4) luôn có nghiệm: Nếu - đẹp sao cho thì

, k Z. Nếu -lẻ thì ( ).

Đặc biệt: .

(d)

Lưu ý: Trong công thức nghiệm đối với sin và côsin thường được 2 họ nghiệm cộng với hoặc ; còn trong công thức nghiệm đối với tang và côtang thường ta được 1 họ nghiệm cộng với hoặc -Đối với phương trình k phải cơ bản chứa tang, côtang hoặc h/s lượng giác ở mẫu cần đặt điều kiện

m x  sin  sin SHIFT m 

   



.2 1 sin sin 2

x k x x k

       





arcsin 2 sin arcsin 2 x m k x m x m k         

  k ¢

 k x x   0 sin 

  2 2 1 sin k x x     

  2 2 1 sin k x x       

  , u u x v v x  

2 sin sin 2 u v k u v u v k …