Bài tập Đại số và Gải tích Lớp 11 Nguyên hàm Tích phân - Hoàng Văn Bình

Hoàng Văn Bình

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Bài 1. NGUYÊN HÀM

I. Lý thuyết

1. Nguyên hàm   f x dx F x C   

2. Tính chất

-     ' f x dx f x   và   f x dx f x C   

-   .k f x dx k f x dx      0 k 

-     f x g x dx f x dx g x dx          

3. Bảng nguyên hàm

  kdx kx C k const    

 

1 1 1 x x dx C

   

     

1

1 u u dx C

  

    

1 ln dx x C x   

1 ln dx u C u   

x x e dx e C   

u u e dx e C   

ln

x x a a dx C a    ln

u u a a dx C a   

cos sin xdx x C    cos sin udx u C    sin cos xdx x C    sin cos udx u C   

2 1 tan cos dx x C x    2 1 tan cos dx u C u   

2 1 cot sin dx x C x    2 1 cot sin dx u C u   

2 2 2 2 2 arcsin 2 2 a x x a x a x dx C a       2 2 1 arcsin x C a a x    

2 2 1 ln 2 dx a x C a x a a x       2 2 1 arctan dx x C a x a a    

2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C        

2

2 ln dx x x k C x k      

DeThi.edu.vn

Hoàng Văn Bình

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm

a. Phương pháp đổi biến số

Nếu   f x dx F x C    thì      . ' f u x u x dx F u x C       

Đặt   ' t u x dt u x dx    . Khi đó    f t dt F t C F u x C         

Cách đặt biến:

Dạng 1: Đặt biến thường

  f ax b dx    đặt t ax b  

  f x dx x  đặt t x 

  1 . n f x xdx   đặt 1 n t x  

  sin cos f x xdx  đặt sin t x 

  cos sin f x xdx  đặt cos t x 

  tan f x dx  đặt tan t x 

  cot f x dx  đặt cot t x 

  ln f x dx x  đặt ln t x 

 x x f e e dx  đặt x t e 

Dạng 2: Đặt lượng giác:

2 2

2 2

2 2

tant 1 cot

1

a x x a x a t a x

a x

                 

2 2

2 2

sin 1 cos

a x x a t x a t a x

            

2 2

2 2

sin 1

cos

a x a x t a x x a t

               

Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào  f x .

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần

DeThi.edu.vn

Hoàng Văn Bình

Cho hai hàm số  u u x  và  v v x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn   ;a b thì khi đó ta có

udv uv vdu    

Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”

c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ

- Nguyên hàm dạng: d 1 ln x ax b C ax b a     

- Nguyên hàm dạng:  

1 2 1 2 2

d 1 ln x x x C ax bx c a x x x x         với 0 

- Nguyên hàm dạng:  

d P x x G x 

 Nếu  Q x là tích các nghiệm đơn      1 2 ... n Q x x x x x x x     thì ta tách

 

1 2

1 2 d ... n

n

P x A A A x G x x x x x x x                dx

 Nếu  Q x là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như      1 2 3 n Q x x x x x x x     thì ta

tách

       

1 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 3 3 d ... d n n n n P x B B A A B B x x G x x x x x x x x x x x x x

                        

 Nếu  Q x là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử

    2 2 1 2 , 4 0 x x x x x px q p q        thì ta tách  

1 2 2 1 2 d d P x A A Bx C x x G x x x x x x px q                

d. Dạng nguyên hàm vô tỉ

- Nguyên hàm dạng   2 2 , R x a x  đặt sin

cos

x a t

x a t

   

- Nguyên hàm dạng   2 2 , R x a x  đặt tant x a 

- Nguyên hàm dạng   2 2 , R x x a  đặt cos a x t 

- Nguyên hàm dạng , a x R x a x

         

đặt cos2 x a t 

- Nguyên hàm dạng , n ax b R x cx d

         

đặt n ax b t cx d   

DeThi.edu.vn