Bài tập môn Toán - Chuyên đề Nhị thức Newton

NHỊ THỨC NEWTON

NHỊ THỨC NEWTON & CÁC ỨNG DỤNG Cơ sở lý thuyết :

1. Công thức khai triển nhị thức NEWTON :

(a  b)n  Cn0 an  Cn1an1b1  Cn2 an2b2 ... Cnn1a1bn1  Cnnbn

n

n  Z   Cn

k a nk bk(1), k 0

2. Tính chất :

 Vế phải của (1) có n +1 số hạng  Trong mỗi số hạng thì tổng lũy thừa của a và b bằng n.  Số hạng tổng quát của khai triển Tk+1 = Cnk ank bk (số hạng thứ k trong khai triển)  Các hệ số cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau.Các hệ số mang tính đối xứng và tăng dần từ

biên vào điểm chính giửa của khai triển  

3. Các dạng khai triển cơ bản :

(x1)nCn0xnCn1xn1Cn2xn2...Cnkxnk...Cnn1xCnn

(1x)nC0C1xC2x2...Ckxk ...  C n 1 x n 1  C n xn

n n n n n n  (x 1)n  C 0 xn  C1 xn1  C 2 xn2 ...  (1)k C k xnk  ...  (1)n1 C n1 x  (1)n C n

n n n n n n

(1x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2 ...  (1)k Cnk xk  ...  (1)n1 Cnn1 xn1  (1)n Cnn xn

C k  C nk

n n C k  C k 1  C k 1 (n >1)

n n n1

k .C k  k .n !  n.( n 1)!  nC k 1 n ( n  k )! k ! ( n  k )!( k 1)! n1

1 C k  n !  ( n 1)!  1 C k 1 k 1 n ( k 1)( n  k )! k ! ( n 1)( n  k )!( k 1)! n 1 n1 Các dạng toán thường gặp :

1. Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn một yêu cầu cho trước :

Phương pháp :

 Xác định số hạng tổng quát của khai triển Tk+1 = Cnk ank bk (số hạng thứ k + 1)  

 Từ Tk+1 kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến n hoặc

biến k)  

 Giải phương trình ta có được kết quả cần tìm . 

2

DeThi.edu.vn

NHỊ THỨC NEWTON

n 

(không chứa x khi   0 ) trong Trường hợp riêng: Cho nhị thức P  a ( x )  b ( x) tìm số hạng chứa x

khai triển thành đa thức của P

 

n x

m m

Phương pháp : Công thức cần lưu ý: x m  xm . n , x m x n  xm n ,  xm n , n x m  x n xn

 Giải phương trình tổ hợp (hoặc sử dụng phép tính tổng)để tìm n (nếu giả thuyết chưa cho n)

n n 

Khai triên: P  a ( x ) n k b ( x ) k  g ( n, k )x f ( n , k ) .

k 0 k 0  Do đó số hạng tổng quát trong khai triển là: T  g ( n, k )x f ( n , k ) (số hạng thứ k + 1)

k 1 

Tk 1  g ( n, k )x

f ( n , k ) 

 f ( n, k )    k  k0 chứa x Thay k  k

0vào T  g ( n, k )x f ( n , k ) số hạng cần tìm k 1

Ví dụ 1(A - 2012): Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n 1  C3 . Tìm số hạng chứa x5 trong

n n

 nx 2 1 n khai triển nhị thức niu-tơn của P     với x  0 14 x  

Bài giải:

n  N Điều kiện: 

n  3

Ta có: 5C nn 1  Cn3

5. n !  n!

3!( n  3)! 1!( n 1)!

5 1 n  7    n 2  3n  28  0  ( n  3)!( n  2)( n 1) 6.( n  3)!



n 4(loai) 

 x 2 17 7 k k  x2 n k 1  k 7 ( 1)k k 14 3k Khi n = 7 ta có: P      ( 1) C7       C7 x

2

7k

 2 x  k 0 2   x  k 0

Do đó số hạng tổng quát của khai triển là Tk 1 

( 1)k

C7k x14 3k 27k T chứa x5 14 3k  5  3k  9  k  3 k 1

Vậy số hạng chứa x 5 là T  ( 1) 3 C 3x 5 35 x 5

2 7 3 4 7 16 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com DeThi.edu.vn