Chuyên đề sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác lớp 7 môn Toán

1

CHUYÊN ĐỀ 34.1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Đường trung tuyến của một tam giác

A

B M C

− Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC  với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của ABC  .

− Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của ABC  .

− Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

3. Vị trí của trọng tâm:

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi

qua đỉnh ấy: 2 3 AG BG CG AD BE CF = = =

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

I. Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác. II. Bài toán.

Bài 1. Chọn câu sai:

A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.

B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.

C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.

D. Một tam giác có hai trọng tâm.

Lời giải

2

Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.

Chọn đáp án D.

Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”

A. 2. 3 B. 3. 2 C. 3. D. 2.

Lời giải

Chọn đáp án A.

Theo tính chất trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường

trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Số cần điền là 2. 3

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ sốBG

BE ?

Lời giải

Ta có . , , AD BE CF . là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên

G là trọng tâm của tam giác ABC .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có . 2 3 BG

BE = . 2 . 3 BG BE  =

Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số AG

GD ?

Lời giải

Ta có , , AD BE CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

G

F E

D B

A

C

G

F E

D B

A

C

3

2 2 2 1 3 3 3 3 AG AG AD GD AD AG AD AD AD AD =  =  = − = − =

2 3 2 1 3

AD AG GD AD  = = 2 . AG GD  =

Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến 9cm AM = và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ?

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến, nên 2 3 AG AM = (Tính

chất ba đường trung tuyến của tam giác), do đó: 2.9 6cm 3 AG = = .

Bài 6. Cho , , , . ABC BC a CA b AB c  = = = Kẻ trung tuyến . AM Đặt . a AM m =

Chứng minh rằng 2 2 a b c a b c m + − +  

Lời giải

Với AMB  ta có: (1) AM MB AB + 

Với AMC  ta có: (2) AM MC AC + 

Cộng từng vế của ( ) ( ) 1 2 và ta được: ( ) 2AM MB MC AB AC + +  +

Hay 2 a m a b c +  + 2 a

b c a m + −  

Chứng minh tương tự ta có 2 a

b c m + 

G

M B

A

C

a

b c

ma

M

B C

A

4

Khi đó ta có: 2 2 a b c a b c m + − +  

Bài 7. Cho ABC  có hai đường trung tuyến , BD CE

a) Tính các tỉ số , BG CG BD CE

b) Chứng minh . 3 2 BD CE BC +  .

Lời giải

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến , BD CE là G .

GBC  có: GB GC BC +  (bất đẳng thức tam giác).

Mà 2 3 GB BD = , 2 3 GC CE = nên: 3 2 3

2 BD CE BC +  .

Do đó 3 2 BD CE BC +  .

Bài 8. Cho ABC  có 8 BC cm = , các đường trung tuyến , BD CE cắt nhau tại G . Chứng

minh 12 BD CE cm +  .

Lời giải

GBC  có: GB GC BC +  (bất đẳng thức tam giác).

Mà 2 3 GB BD = , 2 3 GC CE = nên: 3 2 3

2 BD CE BC +  .

Do đó 3 3 .8 12 2 2 BD CE BC +  = = .

G

D E

B C

A

G

D E

B C

A