Sổ tay công thức Toán học 11 12 Anh Giáo Kid

ANH GIÁO KID - CHUYÊN LUYỆN THI TOÁN CẤP TỐC

o

CHỦ ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

O

y1

y

y

y = f(x)

2

x x 2 x1 O

y1

y

y

y = f(x)

2

x x 2 x1

Từ trái qua phải x tăng, y tăng Từ trái qua phải x tăng, y giảm

Định lí

Nếu hàm số ồng biến trên khoảng

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng

Nếu hàm số không ổi trên khoảng

Nếu ồng biến trên khoảng

Nếu nghịch biến trên khoảng

( ) f x

⇒

( ) ( ) < ⇒ < 1 2 1 2 x x f x f x ( ) ( ) < ⇒ > 1 2 1 2 x x f x f x

( ) ( ) ′ > ∀∈ ⇒ 0, ; f x x a b ( ) f x ( ) ; . a b

( ) ( ) ′ < ∀∈ ⇒ 0, ; f x x a b ( ) f x ( ) ; . a b

( ) ( ) ′ = ∀∈ 0, ; f x x a b ( ) ; . a b

( ) f x

( ) f x

( ) ( ) ( ) ′ ⇒ ≥ ∀∈ ; 0, ; . a b f x x a b

( ) ( ) ( ) ′ ⇒ ≤ ∀∈ ; 0, ; . a b f x x a b

ANH GIÁO KID - CHUYÊN LUYỆN THI TOÁN CẤP TỐC

o

Đạo hàm cấp 2 Hàm số bậc 3

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

→ Hàm số ồng biến trên

→ Hàm số nghịch biến trên

o Hàm phân thức ơn iệu trên từng khoảng xác ịnh

o Hàm phân thức ơn iệu trên hoặc

o Hàm phân thức ơn iệu trên

Đạo hàm cấp 2

 

Ý nghĩa cơ học: Vận tốc tức thời của chuyển ộng tại thời iểm 0t là:

Gia tốc tức thời của chuyển ộng tại thời iểm 0t là: ( ) = s f t ( ) ( ) ′ = 0 0 v t f t

( ) = s f t ( ) ( ) = 0 0 '' a t f t

( ) = + + + ≠ 3 2 0 y ax bx cx d a

>  ⇔ − ≤   2 0

3 0

a

b ac <  ⇔ − ≤   2 0

3 0

a

b ac

( ) + = − ≠ + 0 ax b y ad bc cx d

⇔ − > 0 ad bc ⇔ − < 0 ad bc ĐB NB

( ) + = − ≠ + 0 ax b y ad bc cx d ( ) −∞ 0 ;x ( ) +∞ 0; . x

 − >   >

  



− ≤ ⇔ ⇔  

 − ≥

    

     

0

0

0 ad bc y

d x c d

− ∉ d c

− ∉ d c x c

ĐB NB

( ) + = − ≠ + 0 ax b y ad bc cx d

( ) 1 2 ; . x x

' 0

  (

(

; x0 −∞

(

(

; x0 +∞

 −  

  



− ≤ ⇔ ⇔  

 − ≥

    

     

0

0

0 ad bc y

d x c d

− ∉ d c

− ∉ d c x c

  (

(

; x0 −∞

(

(

; x0 +∞

' 0 < <

 − >   >

  



− ≤ ⇔ ⇔  

 − ≥

    

     

0

0

0 ad bc y

d x c d

− ∉ d c

− ∉ d c x c

ĐB NB

' 0

  (

(

; x0 −∞

(

(

; x0 +∞

 −  

  



− ≤ ⇔ ⇔  

 − ≥

    

     

0

0

0 ad bc y

d x c d

− ∉ d c

− ∉ d c x c

  (

(

; x0 −∞

(

(

; x0 +∞

' 0 < <

ANH GIÁO KID - CHUYÊN LUYỆN THI TOÁN CẤP TỐC

o o

Đạo hàm cấp 2 Hàm số ồng biến trên khoảng thì

o Để hàm số ( ) y f x = ồng biến trên khoảng ( ) ; α β thì

O x

y

y = f(x)

α β O

x

y

y = f(x)

y = f(x)

α β

TH1

TH1

TH2

TH2

o Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì ( ) = y f x ( ) α β ;

( ) = y f x ( ) α β ;

( ) ( ) ( )

α β

α

 ≥ ∀∈  ≥ 

' 0, ;

0

f x x

f

( ) ( ) ( )

α β

α

 ≤ ∀∈  ≤ 

' 0, ;

0

f x x

f

( ) ( ) ( )

α β

β

 ≤ ∀∈  ≥ 

' 0, ;

0

f x x

f

( ) ( ) ( )

α β

β

 ≥ ∀∈  ≤ 

' 0, ;

0

f x x

f

ANH GIÁO KID - CHUYÊN LUYỆN THI TOÁN CẤP TỐC

o o

CHỦ ĐỀ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

O x

y

CĐ A(x ;y ) CĐ

CĐ B(x ;y ) CĐ

XCT

YCT

XCĐ

YCĐ

Điểm cực ại của ồ thị hàm số

Điểm cực ại của hàm số

Giá trị cực tiểu của hàm số

Giá trị cực ại của hàm số

Điểm cực tiểu của hàm số

Điểm cực tiểu của ồ thị hàm số

Cho hàm số có bản biến thiên dưới ây ( ) y f x =

X X1 X2

Y’ + + - O

f(x )

f(x )

O

Y

−∞ +∞

1

2

Điểm cực ại của hàm số

Điểm cực tiểu của hàm số

Giá trị cực tiểu của hàm số

Giá trị cực ại của hàm số