Đề thi và lời giải tham khảo vòng 1 (chọn đội tuyển) IMSO 2025

MinhNV Newton Grammar School

IMSO V1 2025

P1. The figure below shows the first three shapes of a patterned sequence of shapes, each of

which is formed from equal-sized small squares. If the perimeter of shape 1 is 20 cm, what

is the perimeter, in centimeters, of the shape consisting of 2025 small squares?

Solution

P/2 là tổng đáy và cạnh bên phải. Chu vi hình trên là chu vi hình chữ nhật có chiều dài là đáy,

chiều rộng là chiều cao của khối trên.

Shape N 1 2 3 n = 45 – 1 = 44

N of squares 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 2025=452=1+3+5+…+89

P/4 2 + 3 3 + 5 4 + 7 45 + 89

P 20 32 44 536

P2. How many three-digit numbers are divisible by 20 or 25?

Solution

Gọi A,B là tập các số có 3 chữ số chia hết cho 20 và 25 tương ứng.

Số số thỏa mãn là:

|A| + |B| −|A ∩B| = ([999

20 ] −[99

20]) + ([999

25 ] −[99

25]) −([ 999

[20,25]] −[ 99 [20,25]])

= (49 −4) + (39 −3) −(9 −0) = 72

Ans: 72

P3. Lim has a set of colored sheets of paper, each of which is either blue or red. She cuts each

blue sheet into 8 pieces and each red sheet into 7 pieces. When she has finished cutting, Lim

counts a total of 53 pieces. How many sheets of each color did Lim have at first?

Solution

Ban đầu Lim có a tờ giấy màu xanh, b tờ giấy màu đỏ. Sau khi cắt Lim có:

8a + 7b = 53. 8a + 8b = 53 + b = 7 × 8 + (b −3) chia hết cho 8.

Mà 7b < 53 < 56 => b < 8 => b −3 = 8. => b = 3, a = 4

Ans: (a,b) = (4,3)

MinhNV Newton Grammar School

P4. Let M = 1 + (−2) + 3 + 4 + (−5) + 6 + 7 + (−8) + ⋯+ 2023 + (−2024) +

2025; N = 1 + 2 + (−3) + 4 + 5 + (−6) + ⋯+ 2023 + 2024 + (−2025)

What is the value of N – M?

Solution

N – M = 2×[(2+5+8+…+2024) – (3+6+9+…+2025)]

= 2×[(3-1+6-1+9-1+…+2025-1) – (3+6+9+…+2025)] = 2×(-1) ×2025:3 = -1350

Ans: - 1350

P5. In the figure, adjacent dots are 1 cm apart both horizontally and vertically. What is the

area of the shaded region, in cm2?

Solution

Pick’s theorem: (I là số điểm nằm trong hình màu xám, B là số điểm nằm trên biên)

S = I + B

2 −1 = 3 + 8

2 −1 = 6

Ans: 6

Note: Có thể tính bằng phần bù.

P6. How many four-digit numbers abcd ̅̅̅̅̅̅, where a,b,c and d are distinct digits, satisfy the

following conditions: (1) abcd ̅̅̅̅̅̅ is divisible by 25, (2) abc ̅̅̅̅̅ is divisible by 2, (3) ab ̅̅̅ is divisible

by 3?

Solution

(1): cd ̅̅̅ ∈{25,50,75}. (2): c chẵn => cd ̅̅̅ = 25. a,b ∈ S = {0,1,3,4,6,7,8,9} , a≠0.

a+b chia hết cho 3 nên (1) a,b cùng chia hết cho 3 hoặc a,b có số dư là 1 và 2 khi chia 3.

Trong S có các số chia hết cho 3: {0,3,6,9}, chia 3 dư 1: {1,4,7}, chia 3 dư 2: {8}.

Nếu a,b cùng chia hết cho 3. Có 3x3 cách chọn.

Nếu a,b chia 3 dư 1 và 2, có: 3x1 + 1x3 = 6 cách chọn.

Vậy số số thỏa mãn là: 9 + 6 = 15. Ans: 15

MinhNV Newton Grammar School

P7. Consider all two-digit prime numbers ab ̅̅̅ such that ab ̅̅̅ + ba ̅̅̅ is a perfect square. What is

the sum of all such numbers?

Solution

ab ̅̅̅ ∈P nên b lẻ, a ≠0. Ta có: ab ̅̅̅ + ba ̅̅̅ = 11(a + b) = n2 => (a + b)⁝11.

Mà 0 < a + b < 19 => a + b = 11 = 8 + 3 = 6 + 5 = 4 + 7 = 2 + 9

ab ̅̅̅ ∈{83,65,47,29}. Trong 4 số có 65 không nguyên tố.

Vậy tổng các số thỏa mãn là: 83 + 47 + 29 = 159

Ans: 159

P8. Consider the following sequence of digits written repeatedly

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, … (10000 digits)

Rio deletes all the digits in odd positions, resulting in a new sequence of 5000 digits. Then,

he continues deleting the digits in odd positions of the new sequence, and repeats this process

until only one digit remains. How many steps did Rio take in total, and which digit is the last

remaining one?

Xét dãy số sau được viết lặp lại:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, … (10000 chữ số)

Solution

Để sau n bước còn đúng 1 số thì ban đầu có nhiều nhất là 2n số. Vậy n là số lớn nhất sao cho

2n≤1000. Ta có: 213 = 8.192, 214 = 16.384. Vậy n = 13.

Đánh lại số thứ tự của dãy ban đầu: 1,2,3,4,…, 9999, 10000. Ta xóa theo luật.

Lần 1: Sau khi xóa còn lại các số ở vị trí chia hết cho 2.

Lần 2: Sau …