Chuyên đề phương trình bậc hai và hệ thức Viète ôn thi vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ 2_PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ HỆ THỨC VIÉT

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 2 0 ax bx c + + = trong đó x là ẩn; , , a b c là những số cho trước gọi là hệ số và 0 a ≠ .

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt ( 2 2 0; 0. ax bx ax c + = + = )

Dùng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

Lưu ý: • Nếu 0 A B ⋅ = thì 0 A = hoặc 0 B = .

• Nếu ( ) 2 0 A B B = ≥ thì A B = hoặc A B = − .

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ .

Tính biệt thức 2 4 b ac ∆= − .

• Nếu Δ 0 > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 , . 2 2 b b x x a a −+ ∆ −− ∆ = =

• Nếu Δ 0 = thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a = = − .

• Nếu Δ 0 < thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý:

Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ , với 2 b b = ′ và 2 Δ b ac ′ = − ′ .

• Nếu Δ 0 ′ > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 Δ Δ , . b b x x a a ′ − − ′ − = ′ = ′+

• Nếu Δ 0 ′ = thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 b x x a −′ = = .

• Nếu Δ 0 ′ < thì phương trình vô nghiệm.

4. Định lí Vi-et

Ta có định lí Viète như sau:

Nếu 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 0( 0) ax bx c a + + = ≠ thì

1 2

1 2

b x x a c x x a

 + = −   = 

5. Áp dụng định lí Vi-et để tính nhẩm nghiệm

Xét phương trình 2 0( 0) ax bx c a + + = ≠ .

- Nếu 0 a b c + + = thì phương trình có một nghiệm là 1 1 x = , còn nghiệm kia là 2 c x a = .

- Nếu 0 a b c − + = thì phương trình có một nghiệm là 1 1 x = −, còn nghiệm kia là 2 c x a = −

6. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

2 0 x Sx P − + =

Điều kiện để có hai số đó là 2 4 0 S P − ≥ .

MỘT SỐ LƯU Ý VÀ CÁC KẾT QUẢ CẦN NẮM KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ VI-ET

Bài toán thường gặp : Tìm m để phương trình ( ) 2 ax bx c 0 a 0 + + = ≠ có hai nghiệm (phân biệt)

1 2 x , x thỏa mãn một biểu thức đối xứng đối với 1 2 x , x Quy trình Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) 1 2 x , x

• ( ) 2 ax bx c 0 a 0 + + = ≠ có hai nghiệm ( ) ' 1 2 x , x 0 0 ⇔∆≥ ∆≥

• ( ) 2 ax bx c 0 a 0 + + = ≠ có hai nghiệm phân biệt ( ) ' 1 2 x , x 0 > 0 ⇔∆> ∆

Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng đối với 1 2 x , x về tổng 1 2 x x + và tích 1 2 x .x

Bước 3. Sử dụng định lý Viet, ta có 1 2 b x x a + = − , 1 2 c x x a = và thay vào biểu thức chứa tổng 1 2 x x + và

tích 1 2 x x ở trên. Giải ra m , đối chiếu điều kiện ở bước 1. Một số phép biến đổi thường gặp

( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 • x x x x 2x x – 2x x x x – 2x x + = + + = +

( )( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 • x x x x x x – x x x x x x – 3x x   + = + + = + +  

Hoặc ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x – 3x x x x . + = + +

( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 • x x x x 2x x – 2x x x x – 2x x . + = + + = +

1 2 • x – x thì xét ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x – x x – x x x – 4x x . = = +

1 2 • x x + thì xét ( )

2 2 2 1 2 1 2 1 2 x | x | x x 2 x . x + = + +

( )

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 2 x x x x – 2x x 2 x x . = + + = + +

Chú ý : ( ) 2 2 2 2 A A , A B A B , A . B A.B . = ± = ± =

IHỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT

Cho phương trình

2 0 ( 0) ax bx c a + + = ≠ có hai nghiệm 1 2 , x x .

Định lý Viet: 1 2 1 2 , . a c x x x x b a + = − = .

Hệ quả 1. Nếu 1 x = là nghiệm của phương trình thì 2 .1 .1 0 a b c + + = hay 0 a b c + + = .

Ngược lại, nếu 0 a b c + + = thì 1 x = là một nghiệm, nghiệm còn lại là c x a =

Hệ quả 2. Nếu 1 x = − là một nghiệm của phương trình thì

2 .( 1) .( 1) 0 a b c − + − + = hay 0 a b c − + = .

Ngược lại, nếu 0 a b c − + = thì 1 x = − là một nghiệm,nghiệm còn lại là c x a = − .

Hệ quả 3. Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng thời hai nghiệm luôn trái dấu nhau.