Chuyên đề hàm số bậc hai và bài toán tương giao ôn thi vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ 5_HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC CÂU TOÁN TƯƠNG GIAO

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM

Giả sử đường thẳng là : d y mx n = + và parabol là ( ) ( ) 2 : 0 . P y ax a = ≠

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P

( ) 2 2 0 * ax mx n ax mx n = + ⇔ − − =

Bước 2 Lập luận: d tiếp xúc với ( ) P ⇔ Phương trình (*) có nghiệm kép Δ 0 = (hoặc 0 ′ ∆= ) thì tìm được tham số. Bước 3 Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình ( ) * ta tìm được ,x thay x vừa tìm vào 2 y ax =

hoặc y mx n = + thì tìm được y và kết luận. DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT

, A B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI A x VÀ B x

Giả sử đường thẳng : d y mx n = + và parabol là ( ) ( ) 2 : 0 . P y ax a = ≠

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P

2 2 0 ax mx n ax mx n = + ⇔ − − = (*) Bước 2 Tìm điều kiện để d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt A và B

⇔Phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt Δ 0 ⇔ > (hoặc Δ 0 ′ > ).

Bước 3 Biến đổi biểu thức đối xứng với , A B x x về ; . A B A B x x x x + rồi sử dụng định lý Viét với , A B x x là hai nghiệm của phương trình (*). Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ  Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi , A B x x cùng dương.  Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi , A B x x cùng âm.  Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi , A B x x cùng dấu.  Hải điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi , A B x x trái dấu.  Công thức tính A y theo A x và tính B y theo B x

Cách 1 Tính theo ( ): P vì ( ) 2 , : A B P y ax ∈ = nên 2 2 ; . A A B B y ax y ax = =

Cách 2 Tính theo : d vì , : A B d y mx n ∈ = + nên ; A A B B y mx n y mx n = + = + Giả sử 1 2 ; A B x x x x = =

 Gặp ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x + = + + − = + −

 Gặp 1 2 x x − thì xét ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 4 x x x x x x x x x x x x − = − = − + = + −

 Gặp 1 2 x x + thì xét ( )

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x x x x x x x x x x + = + + = + + ( )

2 1 2 1 2 1 2 2 2 x x x x x x = + + −

 Gặp 2 1, x x thì cần thêm điều kiện phụ 1 2 0; 0 x x ≥ ≥ ⇔

 

 



≥

≥ − ⇔    ≥

≥ +

0

0

0

0

2 1

2 1

a c a b

x x

x x

 Gặp 1 2 , x x là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ

1 2

1 2

1 2

0 , 0 0

b x x a x x c x x a

 + = − >  > ⇔  = > 

 Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0. DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB

Cách 1 Kết hợp điều kiện của bài toán với 1 2 b x x a + = − để giải 1 2 , x x theo tham số rồi thay 1 2 , x x vừa

giải được vào 1 2 c x x a =

Cách 2 Nếu tính ∆ hoặc ′ ∆ mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Xét 1 2 ; 2 2 b b x x a a −+ ∆ −− ∆ = =

Trường hợp 2: Xét 1 2 , 2 2 b b x x a a −− ∆ −+ ∆ = =

DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B.

Dạng này ta cần tính A y theo A x và tính B y theo B x theo một trong hai cách:

Cách 1: Tính theo 2 2 2 A A B B (P): Vì A,B (P): y = ax nên y = ax ,y = ax ∈ Cách 2: Tính theo A A B B d: Vì A,B d : y mx n nên y mx n, y mx n ∈ = + = + = + DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH

Ghi nhớ một số công thức về khoảng cách - Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm +) Nếu ( ) ; 0 A a Ox ∈ thì A OA x a = = .

+) Nếu ( ) 0; B b Oy ∈ thì B OB y b = = .

+) Nếu ( ) ; M a b bất kì thì 2 2 OM a b = + .

- Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy +) Nếu , A B Ox ∈ (hoặc // AB Ox ) thì A B AB x x = − .

+) Nếu , M N Oy ∈ (hoặc // MN Oy ) thì M N MN y y = − .

- Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( ) ; , ; A A B B A x y B x y bất kỳ

(Công thức này cần chứng minh khi sử dụng)

A B AH x x = −