Tài liệu học tập môn Toán 9 học kì 1 năm học 2025 - 2026

Tài liệu học tập Toán 9  Nhóm Toán 9 – THCS Nguyễn Trãi 

Học kì 1 (2025 – 2026) Trang 1

PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG

TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN

SỐ & ĐẠI SỐ

Chuû ñeà 1.

`

 Phương trình tích:

 Phương pháp giải phương trình tích: Muốn giải phương trình       1 1 2 2 0 a x b a x b , ta

giải hai phương trình   1 1 0 a x b và   2 2 0 a x b rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

 Tổng quát: . 0 A B 

0 A  hoặc 0 B 

VD: Giải phương trình: a)    5 2 4 0 x x    b) 2 3 21 0 x x  

Giải:

a) Ta có:    5 2 4 0 x x   

5 0 x hoặc 2 4 0 x 

5 x  hoặc 2 x 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 5 x  và 2 x 

b) Ta có: 2 3 21 0 x x  

  3 7 0 x x 

3 0 x  hoặc 7 0 x 

0 x  hoặc 7 x 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 0 x  và 7 x 

Chương

1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 TÓM TẮT KIẾN THỨC

PHẦN

1

Tài liệu học tập Toán 9  Nhóm Toán 9 – THCS Nguyễn Trãi 

Học kì 1 (2025 – 2026) Trang 2

 Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất:

 Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho các phân thức chứa trong

phương trình đều xác định gọi là điều kiện xác định của phương trình.

 Nhận xét:

 Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện của ẩn để tất

cả các mẫu thức chứa trong phương trình đều khác 0 .

 Những giá trị của ẩn không thỏa điều kiện xác định thì không thể là nghiệm của phương

trình.

VD: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 3 2 3 2 1 x x x    

Giải:

Ta có: 3 2 0 x  khi 2 3 x  và 1 0 x khi 1 x .

Vậy điều kiện xác định củaphương trình là: 2 3 x  và 1 x .

 Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

 Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

 Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

 Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

 Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mã điều kiện xác định thì đó

là nghiệm của phương trình đã cho.

VD: Giải phương trình: a) 1 3 2 2 3 3 x x x x       b)   

3 2 2 5 2 1 2 1 x x x x x       

Giải:

a) Điều kiện xác định: 3 x

Ta có: 1 3 2 2 3 3 x x x x      

         

2 3 1 3 2 3 3 3

x x x x x x

1 3 2 2 6

2 3 2 6

2 2 6 3 4 9

x x x

x x

x x x

   

   

     

3 2 x  (thỏa điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 2 x 

Tài liệu học tập Toán 9  Nhóm Toán 9 – THCS Nguyễn Trãi 

Học kì 1 (2025 – 2026) Trang 3

b) Điều kiện xác định: 2 x  và 1 x .

Ta có:   

3 2 2 5 2 1 2 1 x x x x x       

    

       

3 1 2 2 2 5 2 1 2 1 2 1

x x x x x x x x x

          

    3 1 2 2 2 5

3 3 2 4 2 5

3 6

x x x x

x x x

x

    

    



2 x  (không thỏa điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Mỗi câu sau đây đều có 4 lựa chọn, hãy khoanh tròn đáp án chính xác nhất.

Câu 1: Tất cả các nghiệm của phương trình    3 2 0 = 6 x x   là:

A. x = −3. B. x = 3. C. x = 3 hay x = −3. D. x = 2.

Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình 2 3 1 2 4 3 x x x      là:

A. 4 x  B. 3 x  C. 4 x  và 3 x  D. x = 4 và x = 3.

Câu 3: Nghiệm của phương trình    2 30 1 4 3 4 x x x x      là:

A. x = 2 B. x = −3. C. x = 4 D. x = −2 Câu 4: Phương trình   2 2 3 5 0 x x   có các nghiệm là:

A. 5 3 x   và 0 x  B. 5 x  và 0 x  C. 0 x  và 3 x . D. 3 5 x   và 0 x 

Câu 5: Phương trình  

2 3 2 6 0 x x   có các nghiệm là: A. 6 x  và 0 x  B. 3 x  và 0 x  C. 6 x  và 2 x  . D. 3 x  và 6 x  .

Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình 2 3 3 1 x x

   là:

A. 0 x  B. 3 x  C. 1 x  D. 1 x  Câu 7: 3 x  là điều kiện xác định của phương trình:

A. 2 1 3 x   B. 2 1 3 x   C. 4 1 3

x x   D. 2 3 1

x

x  

Câu 8: Phương trình 3 4 2 5 x x    có điều kiện xác định là

A. 5 x  và 2 x . B. 5 x  và 2 x . C. 5 x  và 2 x  . D. 5 x  và 2 x  .

Câu 9: 1 4 x  là điều kiện xác định của phương …