Chuyên đề ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ôn thi học sinh giỏi Toán 6

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI

Ước: Số tự nhiên được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là

ước của a.

Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư( ) { } : | a d d a = ∈

Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.

Nhận xét: Tập hợp các bội của a là

2) Tính chất:

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và 1 − là ước của mọi số nguyên.

- Nếu Ư thì a là số nguyên tố.

- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên là

… thì số lượng các ước của bằng …

Thật vậy ước của là số có dạng …trong đó:

có cách chọn (là )

có cách chọn (là ),…

Do đó, số lượng các ước của bằng

0 d ≠

0 a ≠

( ) 0 a ≠ ( ) { } 0; ;2 ;...; , B a a a ka k Z = ∈

( ) { } 1; a a =

A

. . x y z a b c A ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + +

A mnp

m 1 x + 2 1, , , , x a a a …

n 1 y +

2 1, , , , y b b b …

p 1 z + 2 1, , , , z c c c …

A ( )( )( ) 1 1 1 x y z + + +

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2

II. Ước chung và bội chung

1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư( ) a và Ư( ) b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là

ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC( ) ;a b .

Nhận xét: Nếu ƯC thì a và b nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d ∈ được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b ( ) ;a b∈ khi

d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC( ) ;a b . Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN( ) ;a b

hoặc ( ) ;a b hoặc gcd( ) ;a b .

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B( ) a và B( ) b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội

số chung của a và b. Kí hiệu BC( ) ;a b .

Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số 0 m ≠ được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là

số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC( ) ;a b . Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN

( ) ;a b hoặc hoặc lcm( ) ;a b .

2) Tính chất

Một số tính chất của ước chung lớn nhất:

( ) { } ; 1 a b =

[ ] ;a b

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3

● Nếu thì ta nói các số nguyên tố cùng nhau.

● Nếu thì ta nói các số đôi một nguyên tố cùng

nhau.

● ƯC( ) ;a b thì

●

●

● và thì

●

● Cho

- Nếu thì

- Nếu thì

Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất:

● Nếu thì

●

●

●

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN

I. Phương pháp giải Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên là … thì số lượng các ước của

bằng …

Thật vậy ước của là số có dạng …trong đó:

( ) 1 2 ; ;...; 1 n a a a = 1 2 ; ;...; n a a a

( ) { } { } ; 1, , , 1;2;....; m k a a m k m k n = ∀ ≠ ∈ 1 2 ; ;...; n a a a

c∈ ( ) ; ; . a b a b c c c  =    

( ) ; ; 1. a b d a b d d   = ⇔ =    

( ) ( ) ; ; . ca cb c a b =

( ) ; 1 a b = ( ) ; 1 a c = ( ) ; 1 a bc =

( ) ( ) ( ) ; ; ; ; a b c a b c =

0 a b > >

. a b q = ( ) ; . a b b =

( ) 0 a bq r r = + ≠ ( ) ( ) ; ; . a b b r =

[ ] ; a b M = ; 1. M M a b  =    

[ ] [ ] ; ; ; ; a b c a b c   =  

[ ] [ ] , , ; ka kb k a b =

[ ] ( ) ; . ; . a b a b a b =

A . . x y z a b c A

( )( )( ) 1 1 1 x y z + + +

A mnp