Chuyên đề số chính phương ôn thi học sinh giỏi Toán 6

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1

CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.

Ví dụ : 4 và 6 là hai số chính phương vì 2 4 2 ; = 2 16 4 =

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0;1;4;5;6;9 , không thể có chữ số tận cùng là 2;3;7;8

⇒ Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2;3;7;8

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn,

không chứa TSNT với mũ lẻ.

Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a) Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 . b) Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9. c) Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25 . d) Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16. e) Tích của các số chính phương là một số chính phương. f) Với Alà số chính phương và . A a b = , nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương. ⇒ Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3 1 n + ( 2 0(mod3) a ≡ , 2 1(mod3) a ≡ ),

không có SCP nào có dạng 3 2 n + ( ) n∈.

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4 1 n + ( 2 0(mod 4) a ≡ , 2 1(mod 4) a ≡ )

không có SCP nào có dang 4 2 n + hoặc 4 3 n + ( ) n∈

5. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là

số chính phương.

6. Nếu A số một số chính phương, Achia hết cho p và p là một số nguyên tố thì Achia hết cho 2 p .

7. Nếu 2 a chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho p .

8. Hai số chính phương 2 a và ( ) 2 1 a + được gọi là hai số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính

phương liên tiếp không có số chính phương nào.

Nghĩa là: nếu ( ) 2 2 1 n A n < < + thì A không là số chính phương.

9. Nếu tích .a b là một số chính phương và ( , ) 1 a b = thì hai số a và b đều là các số chính phương

10. Số chính phương biểu diễn được thành tổng các số lẻ : 2 1 3 2 ; + = 2 1 3 5 3 ; + + = 2 1 3 5 7 4 ... + + + =

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2

Chứng minh:

Giả sử: ( ) 1 3 5 ... 2 1 A k = + + + + + với k ∈

Ta có từ 1 đến 2 1 k + có (2 1) 1 1 2 k + −+ = 1 k + số hạng

( ) 1 3 5 ... 2 1 A k ⇒ = + + + + + ( )( ) 2 1 1 1

2

k k + + + = ( ) 2 1 k = + (đpcm)

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Bài 1: Cho các số     ∈        k chöõ soá 0 11; 101; 1001; 10001; 100...01 n . Hãy tìm các số chính phương 2 n .

Lời giải: Ta có: 2 11 121 =

2 101 10201 =

2 1001 1002001 =

2 10001 100020001 =

Tổng quát:   = 2

k chữ số 0 k chữ số 0 k chữ số 0 100...01 100...0 2 00...01

Bài 2: Các biểu thức số sau có phải số chính phương hay không?

a) 2 3 20 3 3 3 ... 3 A = + + + +

b) 2 3 11 11 11 B = + +

c) 10 10 8 C = + d) 100! 7 D = +

e) 10 10 5 E = +

f) 100 50 10 10 1 F = + + g) 2004000 G =

h) 2001 2001 H = Lời giải

a) Ta có: 3 9 n với mọi 2 n ≥ nên ( ) 2 3 20 3 3 ... 3 + + + 9 

Suy ra 2 3 20 3 3 3 ... 3 A = + + + + chia cho 9 dư 3.

Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương.

b) Ta có: 2 3 11 11 11 B = + +

2 11(1 11 11 ) B = + +

11.133 B =

...3 B = ⇒B có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương.