Chuyên đề nguyên lí Dirichlet ôn thi học sinh giỏi Toán 6

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Nội dung nguyên lí

Nếu nhốt . n m r  (trong đó , , * m n r  ) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng

chứa không ít hơn 1 m  con thỏ.

Chứng minh

Giả sử ngược lại mỗi chuồng chứa không quá m con thỏ thì tổng số thỏ nhốt trong n chuồng sẽ không

quá . m n con thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ bằng . m n r  .Vậy phải có ít nhất một chuồng chứa

không ít hơn 1 m  con thỏ.

2. Nhận xét

Bản thân nguyên li Dirichlet khá đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên việc ứng dụng nguyên lí này lại không hề

đơn giản .Vấn đề ở đây là phát hiện ra “chất Dirichlet “ trong các bài toán , dạng toán của mình và sau đó

xác định trong đó đâu là chuồng và đâu là thỏ.Có những trường hợp chuồng và thỏ gần như đã có sẵn,

nhưng có những trường hợp chúng ta phải “xây chuồng , tạo thỏ”.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Toán chia hết

Khi chia số a cho số 0 m  luôn có m khả năng về số dư là 0,1,…., 1 m  (“m chuồng “).Do vậy, khi

chia 1 m  số khác nhau 1 2 1 , ,....., m a a a cho m  ta sẽ có 1 m  số dư (“ 1 m  thỏ”) và do đó luôn

có hai phép chia có cùng số dư.Giả sử hai số bị chia trong hai phép chia đó là ia và ja (với

1 1 j i m     ). Ta có ( ) i j a a m   .

Bài 1:

Chứng minh rằng có thể tìm được một số có dạng 19781978.....197800...0 chia hết cho 2012.

Lời giải

Xét dãy số :

2013 1978 1978,19781978,.....,19781978...1978

so . Khi chia các số hạng của dãy này cho 2012 sẽ có

hai phép chia có cùng số dư. Giả sử hai số hạng của dãy trong hai phép chia đó là

1978 19781978...1978

m so a 

và

1978 19781978...1978

n so b  ( với 1 2013) n m    .

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2

⇒Hiệu của a và b chia hết cho 2012 hay  1978 4 0 19781978....1978 00...0 2012

m n so n so a b

     (đpcm)

Nhận xét: Phương pháp để giải dạng toán này là tạo ra dãy số (theo cấu tạo số) từ yêu cầu của bài toán

(“tạo thỏ”) . Sau đó áp dụng nguyên lí Dirichlet cho các số hạng của dãy số mới (mỗi số hạng thay cho

một “thỏ”, 2012 là số “chuồng”).

Bài 2:

Cho dãy m số tự nhiên bất kì 1 2 , ,...., m a a a . Chứng minh rằng tồn tại một số hạng chia hết cho m hoặc

tổng của một số hạng liên tiếp trong dãy chia hết cho ( *) m m  .

Lời giải

Xét dãy số 1 1 2 1 2 1 2 , ,......., .... m m b a b a a b a a a       

Khi chia các số hạng của dãy này cho m thì xảy ra một trong hai trường hợp sau :

• Có một phép chia hết , chẳng hạn : kb m  , thì ta có điều phải chứng minh :

1 2 ( .... ) k a a a m    

• Không có phép chia hết nào .Khi đó tồn tại hai phép chia có cùng số dư , chẳng hạn là , i j b b

chia cho m ( vơi 1 j i m    )

1 2 ( ) ( .... ) + + ⇒ − + + +   i j j j i b b m hay a a a m , ta có điều phải chứng minh .

Nhận xét: Phương pháp “tạo thỏ “ trong ví dụ này là dựa vào phép toán cộng và yêu cầu về tính liên tiếp

của các số hạng trong dãy ban đầu của đề bài .

Bài 3:

Cho bốn số tự nhiên phân biệt a b c d    . Chứng minh rằng:

( )( )( )( )( )( ) 12 P a b a c a d b c b d c d        

Lời giải

Chia bốn số phân biệt , , , a b c d cho 3 luôn có hai phép chia có cùng số dư

⇒hiệu hai số bị chia đó chia hết cho 3 ⇒tồn tại hiệu hai số trong bốn số , , , a b c d chia hết cho 3. Do vậy

P chia hết cho 3 (1)

Trong bốn số , , , a b c d nếu có hai số có cùng số dư khi chia cho 4 thì P chia hết cho 4;trái lại , khi chia

bốn số đó cho 4 có đủ bốn trường hợp về số dư là 0,1,2,3 ⇒trong bốn số , , , a b c d có hai số chẵn , hai số

lẻ, giả sử ,a c chẵn và ,b d lẻ⇒( ) 2 a c   và ( ) 2 b d  