Chuyên đề phân số ôn thi học sinh giỏi Toán 6

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Số có dạng a b , trong đó , , a b b ∈ ≠0  gọi là phân số.

Số nguyên n được đồng nhất với phân số n 1 .

Tính chất cơ bản của phân số: . : . : a a m a n b b m b n = = với , , , m n m n ∈ ≠0  và n∈ƯC( ) ,a b .

Nếu ( ) ,a b =1 thì a b là phân số tối giản. Nếu m n là dạng tối giản của phân số a b thì tồn tại số

nguyên k sao cho , a mk b nk = = .

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số

I.Phương pháp giải

Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên n sao cho ( ) ( )

A n B n có giá trị nguyên.

Cách làm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , A n d b a b d C n B n a C n

  = + ∈ ⇒ ∈      

1  Ư( ) d .

Nếu a =1 ta tìm được n và kết luận.

Nếu a ≠1 ta tìm được n cần thử lại rồi kết luận.

Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản hoặc rút gọn được” ta

làm như sau:

Gọi d là ước nguyên tố của tử và mẫu.

Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ đó tìm d .

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2

Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số không chia

hết cho các ước nguyên tố.

Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số chia

hết cho các ước nguyên tố.

II.Bài toán

Bài 1: Cho n A n − = + 1 4

a) Tìm n nguyên để A là một phân số

b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.

Lời giải:

Điều kiện: n∈

a) Để A là phân số thì 4 0

n

n

∈  + ≠ 

 4

n

n

∈  ⇒≠− 



b) Để phân số A có giá trị là một số nguyên thì

( ) ( ) n n − + 1 4  ( ) ( ) n n ⇒ + − + 4 5 4  ( ) ( ) n n ⇒ + − +     4 5 4 

Mà ( ) ( ) 4 4 n n + +  nên ( ) n + 5 4  n ⇒ + ∈ 4 Ư( ) 5 .

Ư( ) { } ; ; = ± ± 5 1 5

Ta có bảng sau:

n + 4 1 −1 5 −5

n −3 −5 1 −9

A −4 6 0 2

Vậy { } ; ; ; n∈− − − 9 5 3 1 .

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số n A n + = − 10 2 8 có giá trị là một số nguyên.

Lời giải:

TÀI LIỆU NHÓM CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3

Điều kiện: n∈

Để phân số A có giá trị là một số nguyên thì

( ) ( ) n n + − 10 2 8  ( ) ( ) n n ⇒ + − 10 4  ( ) ( ) n n ⇒ − + −     4 14 4  ( ) n ⇒ − 14 4  .

n ⇒ −∈ 4 Ư( ) 14 .

Ư( ) { } ; ; ; = ± ± ± ± 14 1 2 7 14 .

Mặt khác, n là số tự nhiên nên { } ; ; ; ; ; n n − ≥−⇒ −∈− − 4 4 4 2 1 1 2 7 14 .

Ta có bảng sau:

n −4 1 −1 2 −2 7 14

n 5 3 6 2 11 18

A 15 2

( loại )

− 13 2

( loại)

= 16 4 4 −3 21 14

( loại)

1

Vậy { } ; ; n∈2 6 18 .

Bình luận:

- Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng:

( ) ( ) n n + − 10 2 8  ( ) ( ) n n ⇒ + −     10 2 4  ( ) n ⇒ +10 2 .

Kết hợp với ( ) { } { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; n n − ∈− − ⇒ ∈ 4 2 1 1 2 7 14 2 3 5 6 11 18 ⇒ { } ; ; n∈2 6 18 .

- Đối với bài toán trên với { } ; ; n∈5 3 11 đều là số nguyên nhưng khi thay vào A thì không được giá

trị nguyên vì: theo bài ra thì( ) ( ) n n + − 10 2 8  ( ) ( ) n n ⇒ + − 10 4  nhưng không có điều ngược lại.

Bài 3: Chứng minh rằng phân số n n + + 2 3 4 8 tối giản với mọi số tự nhiên n .

Phân tích: