Tổng hợp bài toán thực tế ôn tập kì thi tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI THPTQG 2025

Trang. 1

Mục lục

I – Các bài tập có lời giải chi tiết

1. Phần trả lời đúng sai

a. Sử dụng tích phân nguyên hàm. 2

b. Phương pháp toạ độ Oxyz. 14

c. Xác suất và thống kê. 33

2. Phần trả lời ngắn

a. Sử dụng tích phân nguyên hàm. 43

b. Phương pháp toạ độ Oxyz. 58

c. Xác suất và thống kê 70

d. Các bài toán tìm giá trị tối ưu 80

e. Các bài toán nội dung khác 93

II – Các bài tập tự luyện có đáp án

1. Phần trả lời đúng sai

a. Sử dụng tích phân nguyên hàm – Đạo hàm 106

b. Phương pháp toạ độ Oxyz 114

c. Xác suất và thống kê 119

2. Phần trả lời ngắn

a. Sử dụng tích phân nguyên hàm. 123

b. Phương pháp toạ độ Oxyz. 127

c. Xác suất và thống kê 128

d. Các bài toán thuộc nội dung khác 130

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI THPTQG 2025

Trang. 2

I – Các bài tập có lời giải chi tiết

1. Phần trả lời đúng sai

CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG TÍCH PHÂN

Bài toán 1: Giả sử rằng khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ

2 ( ) 650 4 R t t  = − (triệu đồng/năm), thời điểm 0 t = tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi

phí biên cho vận hành và bảo trì là 2 ( ) 48 13 C t t  = + (triệu đồng / năm), ở đây ( ) C t là chi phí vận

hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi.

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là ( )

10 2

0 650 4t dt −  (triệu đồng).

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1224 (triệu đồng).

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà

nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 7 năm.

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2440 (triệu đồng).

Lời giải

Nhận xét rằng trên đoạn [0;10] hàm ( ) 0 R t   , do đó doanh thu sau 10 năm của máy công nghiệp A

là ( )

10 10 2 2

0 0 650 4 650 4 t dt t dt − = −   . Do đó ý a) Đúng.

Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là ( )

6 6 2 2

0 0 48 13 48 13 1224 t dt t dt + = + =  

(triệu đồng). Do đó ý b) Đúng.

Lợi nhuận biên của máy A là 2 ( ) ( ) ( ) 602 17 P t R t C t t    = − = − (triệu đồng/năm).

Lợi nhuận bắt đầu giảm, có nghĩa là lợi nhuận biên âm, hay 2 ( ) 0 602 17 0 6 P t t t    −  

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy A là 6 năm. Do đó ý c) Sai.

Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là

6 6 2

0 0 ( ) ( ) 602 17 2388 R t C t dt t dt   − = − =   (triệu đồng). Do đó ý d) Sai.

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ÔN THI THPTQG 2025

Trang. 3

Bài toán 3: Giả sử rằng khi tăng t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ

( )

2 650 3 R t t  = − (triệu đồng/năm), thời điểm 0 t = tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi

phí biên cho vận hành và bảo trì là ( )

2 48 12 C t t  = + (triệu đồng/năm), ở đây ( ) C t là chi phí vận hành

và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi.

a) Doanh thu sau 12 năm của máy A là ( )

12

2

0

650 3t dx −  ( triệu đồng).

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng).

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó

tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm.

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2 532 (triệu đồng).

Lời giải

a)Chọn đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy A là ( ) ( )

12

2

0

650 3 R t t dt = −  ( triệu đồng).

b) Chọn đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy A là ( ) ( ) 2 48 12 C t t dt = +  = 3 48 4 t t b + + .

Chi phí ban đầu là 0, tức là ( ) 0 0 0 C b =  = . Tổng chi phí trong 6 năm là ( )

3 6 48.6 4.6 1152 C = + =

(triệu đồng).

c) Chọn sai.

Lợi nhuận do máy A tạo ra là ( ) ( ) ( ) P t R t C t    = − ( ) 2 2 650 3 48 12 t t = − − + 2 15 602 t = − + .

( ) 602 0 6,33 15 P t t  = →=  năm. Lợi nhuận đạt cực đại tại 602

15 t = và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó

nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8

d) Chọn sai. Lợi …