Chuyên đề vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ II – VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB 

.

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là , , , , a b x y …   

Độ dài của vectơ AB 

được kí hiệu là AB 

, độ dài của vectơ â được kí hiệu là |â|.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hai vectơ a và b 

được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b =   , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ ả cho trước, có duy nhất điểm M sao cho

OM a =  .

Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như , , AA BB … 

gọi là các vectơ -không.

Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0,cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do

đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 

.

CHƯƠNG

II

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ II – VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ a và b 

. Lấy một điểm A bất kì và các điểm , B C sao cho

, AB a BC b = =     . Khi đó, vectơ AC 

được gọi là tổng của hai vectơ a và b 

, kí hiệu là a b +   .

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Bốn điểm , , , A B A B ′ ′ đồng phẳng và tứ giác ABB A ′ ′ là hình bình hành.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chát sau:

Tính chất giao hoán: Nếu a và b 

là hai vectơ bất kì thì a b b a + = +    .

Tính chất kết hợp: Nếu , a b   và c là ba vectơ bât kì thì ( ) ( ) a b c a b c + + = + +      .

Tính chất cộng với vectơ 0 

: Nếu a là một vectơ bất kì thì 0 0 a a a + = + =     . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ

, a b   và c là a b c + +    mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều

vectơ trong không gian.

Cho hình hộp . . Khi đó, ta có . ABCD A B C D AB AD AA AC ′ + + = ′ ′ ′ ′ ′    

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ ả được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là a −. Chú ý:

Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0 

.

Vectơ BA 

là một vectơ đối của vectơ AB 

. Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó.

Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:

Vectơ ( ) a b + −   được gọi là hiệu của hai vectơ a và b 

và kí hiệu là a b −   .

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. III. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, tích của một số thực 0 k ≠ với một vectơ 0 a ≠   là một vectơ, kí hiệu là ka, được xác định như sau: Cùng hướng với vectơ a nếu 0 k > ; ngược hướng với vectơ a nếu 0 k < ; Có độ dài bằng k a ⋅.

Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý:

Quy ước 0 ka =   nếu 0 k = hoặc 0 a =   .

Nếu 0 ka =   thì 0 k = hoặc 0 a =   .

Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và ( ) 0 b b ≠  

cùng phương là có một số

thực k sao cho a kb =   .