Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VEC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG.

1. Định nghĩa.

Cho mặt phẳng ( ) α .

Nếu vec-tơ n khác 0 

và có giá vuông góc với ( ) α thì n được gọi là vec-tơ pháp tuyến của

( ) α .

Nếu hai vec-tơ a và b 

không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong ( ) α thì a, b 

được gọi là cặp vec-tơ chỉ phương của ( ) α .

2. Chú ý.

Nếu n là một vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α thì kn

( ) 0 k ≠ cũng là một vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α .

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vec-tơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng đó. II. XÁC ĐỊNH VEC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG KHI BIẾT MỘT CẶP VEC-TƠ CHỈ PHƯƠNG

1. Định lý.

Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng ( ) α nhận hai vec-tơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  , ( ) 1 2 3 ; ; b b b b = 

làm

cặp vec-tơ chỉ phương thì ( ) α nhận vec-tơ ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; n a b a b a b a b a b a b = − − −  làm vec-tơ

pháp tuyến.

CHƯƠNG

V

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 2 Sưu tầm và biện soạn

2. Chú ý.

Vec-tơ ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; n a b a b a b a b a b a b = − − −  được gọi là tích có hướng của hai vec-tơ

( ) 1 2 3 ; ; a a a a =  , ( ) 1 2 3 ; ; b b b b = 

. Tích có hướng của hai vec-tơ a và b 

, kí hiệu ,a b       .

Biểu thức 1 2 2 1 a b a b − thường được kí hiệu

1 2

1 2

a a

b b . Tương tự,

3 2 2 3 3 2 2 3

a a a b a b b b = − và

3 1 3 1 1 3 3 1

a a a b a b b b = − . Như vậy:

3 3 2 1 1 2

2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a a b b b b b b b

   =      

  .

Hai vec-tơ a và b 

cùng phương , 0 a b   ⇔ =      .

III. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa.

Trong không gian Oxyz , phương trình có dạng 0 Ax By Cz D + + + = , trong đó A , B , C không

đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

2. Nhận xét.

Cho mặt phẳng ( ) α có phương trình tổng quát là 0 Ax By Cz D + + + = . Khi đó:

Mặt phẳng ( ) α có một vec-tơ pháp tuyến là ( ) ; ; n A B C =  .

( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 N x y z Ax By Cz D α ∈ ⇔ + + + = .

Mỗi phương trình 0 Ax By Cz D + + + = (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0) đều là

phương trình của một mặt phẳng xác định. 3. Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng cơ bản

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một vec-tơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có vec-tơ pháp

tuyến ( ) ; ; n A B C =  là:

( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 A x x B y y C z z − + − + − =

hay 0 Ax By Cz D + + + = với 0 0 0 D Ax By Cz = − − − .

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một cặp vec-tơ chỉ phương

CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) α đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có cặp vec-tơ

chỉ phương a, b 

, ta thực hiện như sau:

Tìm một vec-tơ pháp tuyến , n a b   =      .

Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có vec-tơ pháp tuyến n.

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) α đi qua ba điểm A , B , C không thẳng hàng,

ta thực hiện như sau:

Tìm cặp vec-tơ chỉ phương, chẳng hạn AB 

, AC 

.

Tìm một vec-tơ pháp tuyến , n AB AC   =     .

Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua A và có vec-tơ pháp tuyến n.

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) α đi qua ba điểm ( ) ;0;0 A a , ( ) 0; ;0 B b , ( ) 0;0; C c là:

1 x y z a b c + + = .

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) 1 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D α + + + = …