Trắc nghiệm và tự luận chủ đề vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng ĐH để khảo sát và vẽ ĐTHS - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần Dùng chung 3 bộ sách

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ - Nha Trang Trang 1

CHƯƠNG 2

TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1

VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và

khái niệm sau:

 Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một

vectơ, kí hiệu là AB



, đọc là “vectơ AB ”.

 Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là , , , ,... a b u v

  

 Độ dài của vectơ AB



được kí hiệu là AB



, độ dài của vectơ a được kí hiệu là a.

 Đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

Đường thẳng d là giá của vectơ a

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

 Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

 Hai vectơ a và b



được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b 

  , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các tính chất và

quy ước sau:

 Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm sao cho OM a   .

 Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như , ,... AA BB 

được gọi là vectơ-không.

 Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều

bằng nhau và được kí hiệu chung là 0



.

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng ĐH để khảo sát và vẽ ĐTHS - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần Dùng chung 3 bộ sách

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ - Nha Trang Trang 2

2. Các phép toán vectơ trong không gian

a. Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ a và

 b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ    AB a ,    BC b . Vectơ



AC

được gọi là tổng của hai vectơ a và

 b , kí hiệu 

 a b . Vậy a b AB BC AC          .

Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình

chất sau:

 Tính chất giao hoán:        a b b a .

 Tính chất kết hợp:                a b c a b c .

 Tính chất của vectơ-không: 0 0          a a a .

Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm , , A B C ta luôn có: AB BC AC     

.

 Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC     

.

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D , ta có: ' '        AB AD AA AC