Tài liệu vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian cấu trúc mới

2

Chương

VECTƠ VÀ HỆTRỤC TỌA ĐỘTRONG KHÔNG GIAN

§1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1. Tổng của hai véc tơ

Định nghĩa 1.1.

Trong không gian, cho hai véctơ #»a và #»b . Lấy ba điểm O, A, B sao cho # » OA = #»a , # » AB = #»b . Ta gọi # » OB là tổng của hai véctơ #»a và #»b , ký hiệu #»a + #»b . Phép lấy tổng của hai véctơ #»a và #»b được gọi là phép cộng véctơ.

#»a

#»b #»a

#»b

#»a + #»b

O

A

B

o

x Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C, ta có # » AB + # » BC = # » AC

y Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, ta có # » AB + # » AD = # » AC

A

B

C

A

B C

D

z Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ta có # » AB + # » AD + # » AA′ = # » AC′

o Hệthức tương tự: # » BA + # » BC + # » BB′ = # » BD′.

A′

B′ C′

D′

A

B C

D

Tính chất 1.1. x Tính chất giao hoán: #»a + #»b = #»b + #»a ;

y Tính chất kết hợp: Ä#»a + #»b ä + #»c = #»a + Ä#»b + #»c ä ;

z Với mọi véctơ #»a , ta luôn có: #»a + #»0 = #»0 + #»a = #»a .

{ Tổng của ba véctơ #»a , #»b , #»c : #»a + #»b + #»c = Ä#»a + #»b ä + #»c .

LÊ QUANG XE- 0967 003 131

191 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

2. Hiệu của hai véc tơ

Định nghĩa 1.2. a) Véctơ đối:

x Vectơ đối của #»a kí hiệu là −#»a .

y Vectơ đối của # » AB là # » BA, nghĩa là −# » AB = # » BA (dùng đểlàm mất dấu trừtrước vectơ).

z Vectơ #»0 được coi là vectơ đối của chính nó.

b) Định nghĩa hiệu của hai véctơ: Trong không gian, cho hai véctơ #»a , #»b . Ta gọi #»a + Ä −#»b ä là mhiệu của hai véctơ #»a và #»b , ký hiệu #»a −#»b . Phép lấy hiệu của hai véctơ được gọi là mphép trừvéctơ.

#»a #»b

#»a

#»b

#»a −#»b

A

O

B

o x Với ba điểm A, B, C ta có # » AB −# » AC = # » CB.

y Hai véc tơ #»a và #»b đối nhau thì #»a + #»b = #»0 . 3. Tích của một sốvới một véc-tơ

Định nghĩa 1.3. Cho sốthực k ̸= 0 và vectơ #»a ̸= #»0 . Tích của một sốk với vectơ #»a là một vectơ, kí hiệu là k#»a , được xác định như sau:

Ì Cùng hướng với vectơ #»a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ #»a nếu k < 0.

Ì Có độdài bằng |k| · |#»a |.

o 0 · #»a = #»0 và k · #»0 = #»0 .

Tính chất 1.2.

Hệthức trung điểm, trọng tâm:

x I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

• # » IA + # » IB = #»0 ;

• # » IA = −# » IB; # » AI = 1

2 # » AB;...

y G là trọng tâm của tam giác ABC thì

• # » GA + # » GB + # » GC = #»0 ;

• # » GA = −2

3 # » AK; # » GA = −2# » GK;...

A

B

I

A

B C

M N

K

G

Nhận xét:

x Với hai véctơ #»a và #»b bất kỳ, với mọi sốh và k, ta luôn có

k Ä#»a + #»b ä = k#»a + k#»b ; • (h + k) #»a = h#»a + k#»a ; • h (k#»a ) = (hk) #»a ; •

1 · #»a = #»a ; • (−1) · #»a = −#»a ; • k#»a = #»0 ⇔

ñ#»a = #»0 k = 0 . •

y Hai véctơ #»a và #»b (#»b khác #»0 ) cùng phương khi và chỉkhi có sốk sao cho #»a = k#»b .

LÊ QUANG XE- 0967 003 131

192 Chương 2. VECTƠ VÀ HỆTRỤC TỌA ĐỘTRONG KHÔNG GIAN

z Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉkhi có sốk ̸= 0 để# » AB = k# » AC.

4. Tích vô hướng của hai véc-tơ

Định nghĩa 1.4.

Trong không gian, cho #»u và #»v là hai véctơ khác #»0 . Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho # » AB = #»u, # » AC = #»v . Khi đó, ta gọi ’ BAC là góc giữa hai véctơ #»u và #»v , ký hiệu (#»u, #»v ). o 0◦≤(#»u, #»v ) ≤180◦.

o • Nếu #»u cùng hướng với #»v thì (#»u, #»v ) = 0◦;

• Nếu #»u ngược hướng với #»v thì (#»u, #»v ) = 180◦;

• Nếu #»u vuông góc với #»v thì (#»u, #»v ) = 90◦.

A

B

C

#»u

#»v

Định nghĩa 1.5. Trong không gian, cho hai véctơ #»u và #»v khác #»0 . Tích vô hướng của hai véctơ #»u và #»v là một số, kí hiệu #»u · #»v , được xác định bởi công thức #»u · #»v = |#»u| · |#»v | · cos(#»u, #»v ) o x Trong trường hợp #»u = 0 hoặc #»v = 0, ta quy ước #»u · #»v = 0.

y #»u · #»u = #»u 2 = |#»u|2; #»u 2 ⩾0. #»u 2 = 0 ⇔#»u = #»0 .

z Với hai véctơ #»u, #»v khác #»0 , ta có cos(#»u, #»v ) = #»u · #»v |#»u| · |#»v |

{ Với hai véctơ #»u, #»v khác #»0 , ta có #»u ⊥#»v ⇔#»u · #»v = #»0 .

Tính chất 1.3. Với ba véctơ #»a , #»b , #»c và sốthực k, ta có:

#ằa · #ằb = #ằb · #ằa ; • #ằa · Ä#ằb + #ằc ä = #ằa · #ằb + #ằa · #ằc ; •

(k#ằa ) · #ằb = k(#ằa · #ằb ) = #ằa · (k#ằb ). …