Chuyên đề vectơ trong không gian môn Toán 12 định hướng cấu trúc mới

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Chuyên đề HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Chủ đề 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. LÝ THUYẾT 1. Vectơ trong không gian

+) Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. +) Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là . AB - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là

, , , ,... x y a b

- Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là , AB độ dài của vectơ a được kí hiệu là . a

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu là a b  , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

- Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho

. OM a  - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như , ,... AA BB gọi là các vectơ –

không. - Ta quy ước vectơ- không có độ dài bằng 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, vectơ- không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0. 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian a) Tổng của hai vectơ trong không gian

+ a b  b 

a





b

a

C

B

A

Trong không gian, cho hai vectơ a và .b Lấy một điểm A bất kì và các điểm , B C sao cho

, . AB a BC b   Khi đó, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và , b kí hiệu là . a b 

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

* Quy tắc ba điểm: Nếu , , A B C là ba điểm bất kì thì AB BC AC   .

* Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC   .

D

A B

C

Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán: Nếu a và b là hai vectơ bất kì thì . a b b a    - Tính chất kết hợp: Nếu ,a b và c là ba vectơ bất kì thì    . a b c a b c     

- Tính chất cộng với vectơ 0 : Nếu a là một vectơ bất kì thì 0 0 . a a a     Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ

,a b và c là a b c   mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều

vectơ trong không gian.

* Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp . . ABCD A B C D  Khi đó, ta có: AB AD AA AC      .

C'

B' A'

D'

D

A B

C

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian * Khái niệm vectơ đối Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ , a kí hiệu là .a  * Chú ý. - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0.

- Vectơ BA là một vectơ đối của vectơ . AB - Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:

Vectơ   a b  được gọi là hiệu hai vectơ a và b và kí hiệu là . a b 

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. * Quy tắc hiệu hai vectơ:

Với ba điểm , , O A B bất kì trong không gian, ta có: OB OA AB   .

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian

Tương tự như tích một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của …