Chuyên đề biểu thức tọa độ các phép toán vectơ Toán 12 định hướng cấu trúc mới

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ TOÁN 12

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Chuyên đề HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ OXYZ

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Chủ đề 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

I. LÝ THUYẾT 1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Trong không gian , Oxyz cho hai vectơ   ; ; a x y z  và   ; ; . b x y z    

Ta có:

  ; ; ; a b x x y y z z        

  ; ; ; a b x x y y z z        

  . ; ; ; . k a kx ky kz k  

Nhận xét. Vectơ   ; ; a x y z  cùng phương với vectơ   ; ; 0 b x y z      khi và chỉ khi tồn tại số

thực k sao cho .

x kx

y ky

z kz

         

2. Tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm

Trong không gian , Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng     ; ; , ; ; A A A B B B A x y z B x y z và

  ; ; . C C C C x y z Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ; ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z         

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là ; ; . 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z            

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian , Oxyz tích vô hướng của hai vectơ   ; ; a x y z  và   ; ; b x y z     được xác

định bởi công thức: .a b xx yy zz       .

Nhận xét. - Hai vectơ a và b vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu . 0 0. a b xx yy zz        

- Nếu   ; ; a x y z  thì 2 2 2 . a x y z   

- Nếu   ; ; a x y z  và   ; ; b x y z     là hai vectơ khác 0 thì

  2 2 2 2 2 2 . cos ,

. .

xx yy zz a b a b

a b x y z x y z

      

      

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho 2 vectơ       a 2;3; 5 ,b 0; 3;4 ,c 1; 2;3       . Tìm tọa độ của

vectơ n 3a 2b c    . Câu 2: Trong không gian , Oxyz cho hai vec tơ   1;1;0 u  và   2;0; 1 v   . Tính 2 u v  .

Câu 3: Trong không gian , Oxyz tìm ;x y để ba điểm   1;2; 3 A   ,   1;0;2 B ,   ; ; 13 C x y  thẳng hàng.

Câu 4: Trong không gian , Oxyz tính góc giữa hai vectơ   1;2; 2 a   và   1; 1;0 .   b

Câu 5: Trong không gian , Oxyz cho vectơ (2;0; 1)   u . Tìm vectơ v biết v cùng phương với u và

. 20 u v  .

Chuyên đề VECTO TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Câu 6: Trong không gian , Oxyz cho tam giác ABC có   0;2; 1 A  và   2;0;3 B . Tìm tọa độ điểmC sao

cho   1;2;2 G là trọng tâm tam giác . ABC

Câu 7: Trong không gian , Oxyz cho hai điểm     1;2;1 , 2; 1;2 . A B  Tìm điểm M trên trục Ox và

cách đều hai điểm , . A B

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm   2;3; 1 M  ,   1;1;1 N  ,   1; 1;3 P m  . Tìm m để tam

giác MNP vuông tại . N Câu 9: Trong không gian , Oxyz cho hai điểm   1; 2;1 A  ,   3; 4;1 B  . Đường thẳng AB cắt mặt

phẳng   Oxz tại M . Tính tỉ số . MB MA

Câu 10: Trong không gian , Oxyz cho ba điểm       1; 1;1 , 3;2; 2 , 3;1;5 A B C    . Tìm tọa độ điểm

  ; ; M x y z thỏa mãn 2 4 MA AB CM   .

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (0;3;1) B , ( 3;6;4) C . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2 MC MB . Tìm tọa độ điểm M . Câu 12: Trong không gian , Oxyz cho ba điểm   2;3;1 A  ,   2;1;0 B ,   3; 1;1 C   . Tìm tọa độ điểm D

là điểm sao cho ABCD là hình thang có cạnh đáy AD và diện tích hình thang ABCD bằng 4 lần diện tích tam giác ABC . Câu 13: Trong không gian , Oxyz cho tam giác OAB có   2;2; 1 A  và   0; 4;3 . B  Tính độ dài đường

phân giác trong góc . AOB

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2;2;1) M , 8 4 8 ; ; 3 3 3 N . Tìm tọa độ tâm đường tròn

nội tiếp tam giác OMN . Câu 15: Trong không gian , Oxyz một hình chữ nhật có hai đỉnh không liên tiếp có tọa độ là   3; 2;2 3  ,   3;2; 2 3   ; hai đỉnh còn lại nằm trên mặt phẳng Oxy có hoành độ và tung

độ độ đều là số nguyên. Có bao nhiêu hình chữ nhật như thế? …