Hệ thống dạng toán và đề ôn tập chuyên đề phương trình mặt phẳng Toán 12

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG OXYZ TOÁN 12

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

HỆ THỐNG DẠNG TOÁN- ĐỀ ÔN TẬP

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Toán 12

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

CHƯƠNG 5

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I. LÝ THUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  .

Vectơ 0 n  và có giá vuông góc với mặt phẳng   gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  .

Nhận xét:

Nếu n là một vectơ pháp tuyến của   thì k n    0 k  cũng là một vectơ pháp tuyến của  .

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng  .

Nếu hai vectơ a và b không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt

phẳng  thì ,a b là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng  .

Nhận xét:

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương :

Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng   nhận hai vectơ   1 2 3  ; ; a a a a và   1 2 3  ; ; b b b b . làm

cặp vectơ chỉ phương thì   nhận     , n a b làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

Vectơ   2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1          , ; ; n a b a b a b a b a b a b a b được gọi là tích có hướng của hai vectơ

  1 2 3  ; ; a a a a và   1 2 3  ; ; b b b b .

  2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

               

, ; ; ; ;

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b .

a cùng phương với b 0       ,a b .

Nếu     , n a b thì vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và b .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Toán 12

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0     Ax By Cz D với

2 2 2 0    A B C , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét:

Nếu mặt phẳng   có phương trình 0     Ax By Cz D (với

2 2 2 0    A B C ) thì vectơ

   ; ; n A B C là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 

Cho mặt phẳng   có phương trình 0     Ax By Cz D .

Khi đó:  0 0 0 0 0 0 0 ( ; ; ) 0 N x y z Ax By Cz D       

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một số điều kiện:

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết vectơ pháp tuyến:

Trong không gian Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và

có vectơ pháp tuyến    ; ; n A B C là:

      0 0 0 0 A x x B y y C z z      

hay 0     Ax By Cz D với 0 0 0    D Ax By Cz

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương:

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng   đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có cặp vectơ

chỉ phương ;a b , ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến     ; n a b .

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ pháp tuyến

n . Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng:

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua ba điểm , , A B C không thẳng hàng, ta

thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương , AB AC .

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến     , n AB AC .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm A (hoặc điểm B hoặc điểm C ) và có

vectơ pháp tuyến n . Nhận xét:

Mặt phẳng  không đi qua gốc tọa độ O và lần lượt cắt trục Ox tại   0 0 ; ; A a , cắt trục Oy

tại   0 0 ; ; B b , cắt trục Oz tại   0 0 ; ; C c có phương trình là 1    y x z a b c

. với 0  . . a b c .

Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.