Các bài toán tập hợp điểm, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất trong không gian Oxyz

GV: Phạm Tuấn Sinh 1

CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM GTLN – GTNN.

Trong phần này chúng ta nghiên cứu các bài toán có nội dung về quỹ tích và

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Thông thường: Các bài toán tập hợp điểm cũng

chính là các bài toán về min – max bởi vì khi tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện nhất

định thì sẽ đạt min – max. Tuy nhiên: Bài toán tập hợp điểm thiên về vị trí tương đối

và tính toán, còn bài toán về min – max thiên về khảo sát hàm số và bất đẳng thức.

Từ đó chúng ta cũng thấy được phương pháp giải có đặc trưng riêng

 Bài toán tập hợp điểm: Thường sử dụng phương pháp véc tơ, các định lý

trong tam giác, hình bình hành, sự đối xứng, song song, vuông góc, …

 Bài toán min – max: Thường sử dụng phương pháp khử dần ẩn (Thêm biến,

đổi biến, dồn biến), khảo sát cực trị, bất đẳng thức B.C.S , Mincopxki, …

Như vậy trong phần này các bài toán có mức độ Vận dụng – Vận dụng cao. Để

giải nhanh thì chúng ta không chỉ nắm vững kiến thức mà còn sử dụng một số công

thức tính nhanh, kỹ năng sử dụng CASIO. Nếu chỉ làm tự luận thì cũng có kết quả

nhưng thi trắc nghiệm thì thời gian không nhiều!. Các em cần tính tổng thời gian của

quy trình giải một bài toán khó như sau:

- Đọc hiểu đề và yêu cầu của bài toán: Đọc để hiểu nội dung của bài toán là gì?

- Tái hiện kiến thức: Trong bài toán chúng ta cần thiết những kiến thức nào?

- Xác định các yếu tố cần giải: Chẳng hạn mặt cầu thì cần biết tâm, bán kính,…

- Biến đổi, tính toán: Đây là quy trình cuối cùng dẫn đến kết quả và trả lời, có

nhiều khi phải vẽ hình minh họa thì càng mất nhiều thời gian.

Trong phần này, các bài toán có chọn lọc và được biên soạn theo chủ đề: Điểm –

mặt phẳng, Điểm – Mặt cầu, Điểm – Đường thẳng, và tổ hợp của các yếu tố trên.

Trong phần 1, tôi đã đưa ra một số kiến thức bổ xung và công thức tính nhanh, nên

phần này tôi không nêu ra. Tuy nhiên, trong phần này cũng có kiến thức bổ xung

hữu ích để giúp chúng ta giải nhanh, từ đó mới tiết kiệm được thời gian toàn bài thi.

Đặc biệt trong phần này ta nghiên cứu bài toán mà tạm gọi là “Định luật phản xạ

ánh sáng đối với gương phẳng”.

GV: Phạm Tuấn Sinh 2

I. BỔ SUNG - BÀI TOÁN VỀ TÂM TỈ CỰ.

1. Kiến thức bổ sung.

 Với hai điểm , A B và , α β là các số sao cho 0 α β + ≠ . Điểm I thỏa mãn

0 α β + =    IA IB gọi là tâm tỉ cự của hai điểm , A B . Khi đó tọa độ I tính theo công thức:

A B I x x x + = + α β α β , A B I y y y + = + α β α β , A B I z z z + = + α β α β .

Chứng minh: (Hoàn toàn tương tự với bộ n điểm)

( ) ( ) 0 0 α β α β + = ⇔ − + − =         IA IB OA OI OB OI ( ) α β α β ⇔ + = +    OI OA OB hay ta có

α β α β α β ⇔ = + + +

   OI OA OB . Chuyển về tọa độ ta có đpcm.

 Chú ý:

 Điểm I thuộc đường thẳng AB. Nếu đặt α α β = + k thì 1 β α β = − + k và ta có

( ) 1 = + −    OI kOA k OB .

 Đặc biệt khi 1 = = α β thì I là trung điểm của AB. Mở rộng đối với ba điểm

A, B, C và bộ 0 + + ≠ α β γ ta có 0 IA IB IC + + =     α β γ thì I là tâm tỉ cự của ba điểm đó.

Hơn nữa với tam giác ABC thì ta hay sử dụng 0 GA GB GC + + =    

, với 1 = = = α β γ .

2. Các ví dụ giải toán.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 4; 3;2 , 2; 5; 1 A B − − . Tìm tọa độ điểm K

thỏa mãn đẳng thức 2 0 KA KB − =   

.

Hướng dẫn giải

2 2 2 2 0 , , 1 2 1 2 1 2

A B A B A B K K K x x y y z z KA KB x y z − − − − = ⇔ = = = − − −

  

( ) 0; 13; 4 K ⇒ − .

Lưu ý.

Để tránh sai sót về dấu, dùng Casio ghi 2 1 2 A B − − CALC nhập 4 2 = = (lần 1 hoành

độ tương ứng của , A B ) CALC lần 2 nhập tung độ, CALC lần 3 nhập cao độ.

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 3; 3;5 , 7; 1;3 E F − . Tìm tọa độ điểm

K thuộc trục Oy sao cho 3 2 KE KF −  

đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm thỏa mãn ( ) 3 2 0 5; 11;9 IE IF I − = ⇒ − −   

.

Khi đó ( ) ( ) 3 2 3 2 KE KF KI IE KI IF KI KI − = + − + = =       

đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ K …