Toán thực tế nguyên hàm và tích phân Toán 12

CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Page 79 Sưu tầm và biên soạn

BÀI. NGUYÊN HÀM

1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: Cho hàm số  f x xác định trên một khoảng K (hoặc một

đoạn hoặc một nửa khoảng). Hàm số  F x được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K

nếu   F x f x   với mọi x thuộc K .

Giả sử hàm số  F x là một nguyên hàm của  f x trên K . Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C , hàm số  F x C  cũng là một nguyên hàm của  f x trên K ;

b) Nếu hàm số  G x là một nguyên hàm của  f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho

  G x F x C   với mọi x K  .

Như vậy, nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số

 f x trên K đều có dạng  F x C  . Ta gọi  F x C  là họ các nguyên hàm của  f x trên

K ký hiệu bởi   f x dx F x C    .

Chú ý: a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số  f x trên K , ta chỉ cần

tìm một nguyên hàm  F x của  f x trên K và khi đó   d f x x F x C    , C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số  f x liên tục trên khoảng K thì  f x có

nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức d f x x gọi là vi phân của nguyên hàm  F x , kí hiệu là  dF x . Vậy

   d d d F x F x x f x x    .

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó. 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM.

Cho   , f x g x là hai hàm số liên tục trên K . Khi đó:

a) ( )d ( )d kf x x k f x x    với mọi số thực k khác 0.

Suy ra   . ( ) . ( ) d ( )d ( )d k f x l g x x k f x x l g x x      

CHƯƠNG

IV

NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ IV – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Page 80 Sưu tầm và biên soạn

b)   ( ) ( ) d ( )d ( )d f x g x x f x x g x x       .

3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số y x  , với , được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  tùy thuộc vào giá trị của . Cụ thể:

+) Với  nguyên dương, tập xác định là .

+) Với  nguyên âm hoặc 0  , tập xác định là  * \ 0   .

+) Với  không nguyên, tập xác định là   0;.

+) Hàm số lũy thừa y x  (với ) có đạo hàm tại mọi điểm 0 x  và   1 . x x    .

Từ đó ta có:  

1 d 1 1 x x x C

   

      ;   d ln 0 x x C x x    

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

cos d sin x x x C   

sin d cos x x x C   

2 1 d tan cos x x C x    Với 2 x k    

2 1 d cot sin x x C x    Với x k 

c) Nguyên hàm của hàm số mũ:

d x x e x e C   

  d 0 1 ln

x x a a x C a a     

Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 70 / km h thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với tốc

độ    10 30 / v t t m s   . Tính quãng đường ô tô đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh?

Câu 2: Bạn Huyền chạy thể dục buổi sáng với    3 2 1 5 / 24 16 a t t t m s   , trong đó t là khoảng thời gian tính

từ lúc xuất phát. Vào thời điểm  5 t s  sau khi xuất phát thì vận tốc của bạn Huyền đạt được bằng bao

nhiêu? Câu 3: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi    24,5 9,8 / v s t t m   .

Tính quãng đường (mét) viên đạn đi sau 2 giây đầu. Câu 4: Bạn An ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới vận tốc chuyển động của máy bay là    2 3 5 / v t t m s   . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

Câu 5: Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 / km h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc

   2 1 / 3 t a t m s  . Tính vận tốc của ô tô sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.

HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ.