Trắc nghiệm và tự luận chủ đề tích phân

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 1

BÀI 2

TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân

a. Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số  f x liên tục và không âm trên đoạn   ;a b thì diện tích S của hình thang cong giới hạn

bởi đồ thị  y f x  , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   được tính bởi:

  S F b F a  

trong đó  F x là một nguyên hàm của  f x trên đoạn   ;a b .

b. Khái niệm tích phân

Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b . Nếu  F x là nguyên hàm của hàm số  f x trên đoạn

  ;a b thì hiệu số   F b F a  được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số  f x , kí hiệu 

b

a

f x dx 

Chú ý:

 Hiệu số   F b F a  còn được kí hiệu là 

b

a F x .

Vậy    

b b

a a

f x dx F x F b F a    

 Ta gọi

b

alà dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên,  f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và

 f x là hàm số dưới dấu tích phân.

 Quy ước:    ;

a b a

a a b f x dx f x dx f x dx    

 Tích phân của hàm sốf từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận ,a b mà không phụ thuộc vào

biến x hay t , nghĩa là  

b b

a a f x dx f t dt    .

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 2

 Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số  f x liên tục và không âm trên đoạn   ;a b thì 

b

a

f x dx  là diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị  y f x  , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   .



b

a S f x dx 

Nhận xét:

 Nếu hàm số  f x có đạo hàm  ' f x và  ' f x liên tục trên đoạn   ;a b thì

   '

b

a f b f a f x dx   .

 Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b . Khi đó  1

b

a

f x dx b a  được gọi là giá trị trung bình của

hàm số  f x trên đoạn   ;a b .

 Đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mọi

thời điểm: ( ) '( ) v t s t  . Do đó, nếu biết tốc độ ( ) v t tại mọi thời điểm   ; t a b  thì tính được quãng đường

di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức:   ( )

b

a s s b s a v t dt   

2. Tính chất của tích phân

Cho hai hàm số   , f x g x liên tục trên đoạn   ;a b . Khi đó:

 Tính chất 1:  

b b

a a kf x dx k f x dx    , với k là hằng số.

 Tính chất 2:    

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx          

   

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx          

 Tính chất 3:   

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx      với   ; c a b  .

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Trắc nghiệm và tự luận 4 phần có lời giải Dùng chung 3 bộ sách

https://www.facebook.com/truongngocvy8/ Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Trang 3

PHẦN A

TỰ LUẬN PHÂN DẠNG TOÁN

DẠNG 1

TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM SƠ CẤP

Chú ý : Dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh

  

1 1 1 1 n n dx C x n x           1

1

n n ax b ax b dx C a n

     

 1 ax b ax b e dx e C a

        1 0 1 ln

x x a a dx C a a

   



      

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C  

C x dx   

 

1

1 1 x x dx C

   

     

Nguyên hàm của hàm số 1 y x    0 ln     x C x x dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x xdx    sin cos

C x xdx     cos sin

C x dx x

   tan cos

1

2

C x dx x

    cot sin

1

2

Nguyên hàm của hàm số mũ

C e dx e x x   

 1 0 ln      a C a a dx a

x x