Toán thực tế quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUÁN ĐẾN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1: Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy?

Lời giải

Gọi hình chóp tứ giác đều là .S ABCD như hình vẽ, , O AC BD M = ∩ là trung điểm của DC .

Khi đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên ( ) SCD và mặt đáy ( ) ABCD là [ ] , , S CD O .

Ta có SM CD ⊥ và OM CD ⊥ , suy ra  SMO là góc phẳng nhị diện [ ] , , S CD O .

Xét tam giác SMO ta có 90 2 BC OM = = (m)

  98 49 tan 47,4 . 90 45 SMO SM SO O O M = = = ⇒ = 

Câu 2: Hai mái nhà trong hình bên dưới là hai hình chữ nhật. Giả sử 4,8 m AB = ;

2,8 m; 4 m OA OB = = .

CHƯƠNG

VII

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) OAB vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa

hai mái (đường nóc) song song với mặt đất. c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0,5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất.

Lời giải

a) Vì hai mái nhà là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa

hai mái nhà trong hình là góc  AOB

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác AOB ta có:

  2 2 2 2 2 2 2,8 4 4,8 1 cos 88 2 . 2.2,8.4 28

o OA OB AB AOB AOB OAOB + − + − = = = ⇒ ≈

b) Gọi đường giao giữa hai mái (đường nóc) là OO′ .

Ta có ( ) OO OA OO OAB OO OB

′ ⊥  ′ ⇒ ⊥  ′ ⊥ 

Mà OO′ song song với mặt đất và không nằm trong mặt đất nên mặt phẳng ( ) OAB vuông góc

với mặt đất phẳng.

c)

Góc giữa mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất là góc  OBH

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

   OBH OBA ABH = +

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác AOB ta có:

  2 2 2 2 2 2 4,8 4 2,8 13 cos 36 2 . 2.4,8.4 16

o BA BO OA OBA OBA BA BO + − + − = = = ⇒ ≈ .

ABH ∆ vuông tại H có:   0,5 5 sin 6 4,8 48

O AH ABH ABH AB = = = ⇒ ≈ .

Do đó    42o OBH OBA ABH = + ≈ .

Góc giữa mái nhà (chứa OB ) so với mặt đất khoảng 42o .

Câu 3: Từ một tấm bìa hình chữ nhật, tại bốn góc bạn Minh cắt bỏ đi bốn hình vuông có cùng kích thước rồi gập tấm bìa lại để được một chiếc hộp không nắp. Chiếc hộp Minh tạo được là hình gì?

Lời giải

Sau khi Minh cắt bỏ đi bốn hình vuông có cùng kích thước rồi gập tấm bìa lại thì ta có các mặt của chiếc hộp là hình chữ nhật, đồng thời các cạnh bên vuông góc với đáy. Do đó chiếc hộp Minh tạo được là một hình hộp chữ nhật không nắp.

Câu 4: Nhân dịp sinh nhật Phương được tặng một khối Rubic là khối tứ diện đều có các cạnh bằng 7cm

. Tính tổng diện tích các mặt bên của khối Rubic đó.

Lời giải

Gọi 1S là diện tích mỗi mặt bên của khối Rubic.

Ta có ( ) 2 1 1 49 3 .7.7.sin60 2 4 S cm = ° = .

Do khối Rubic là khối tứ diện đều nên có tổng diện tích các mặt bên là:

2 1 49 3 4 4. 49 3( ) 4 tp S S cm = = = .

Câu 5: Một người cần sơn các mặt của một cái bục (trừ đáy lớn) để đặt một bức tượng. Bục có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7m . Tính tổng

diện tích cần sơn.

Lời giải

Xét một mặt của hình chóp cụt tứ giác đều giả sử là hình thang cân ABCD , chiều cao AH ta có: