Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11 CTST

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng ,a b trong không gian, kí hiệu ( ) ,a b , là góc giữa hai đường thẳng a′

và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b .

Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: ( ) 0 , 90 a b ° ≤ ≤ ° .

2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b ⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90°.

CHƯƠNG

VIII

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng ( ) 1d và ( ) 2 d ta có thể thực hiện tính thông qua góc

giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Bước 1. Sử dụng tính chất sau:

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 3 2 3

, , , / /

d d d d d d d d

α α =  ⇒ = = 

Bước 2. Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân,  , 120 AB AC a BAC = = = ° và cạnh bên 2 AA a ′ = . Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC.

Câu 2: Cho hình lập phương . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ . Tính góc giữa 2 đường thẳng

a) AB và B C ′ ′

b) AC và B C ′ ′

c) A C ′ ′ và B C ′

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( ) , MN SC bằng:

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy

và 3 SA a = . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cosα bằng

Câu 6: Cho hình hộp thoi . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng a và    60 ABC B BA B BC ′ ′ = = = ° . Chứng minh tứ giác A B CD ′ ′ là hình vuông. Câu 7: Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc , , BAD DAA A AB ′ ′

đều bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của , AA CD ′ . Gọi α là góc tạo bởi hai đường

thẳng MN và B C ′ , tính giá trị của cosα . Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DM.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có 4 3 CD AB = . Gọi , , G E F lần lượt là trung điểm của , , BC AC DB , biết

5 6 EF AB = . Tính góc giữa CD và . AB

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a ; SA vuông góc với đáy

và 3 SA a = . Tính côsin góc giữa SB và . AC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP. 2

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

Câu 11: Cho hình chóp .S ABC có 2 BC a = , các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng: Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng Câu 13: Cho hình lập phương . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′, gọi I là trung điểm của cạnh AB . Tính côsin của góc

giữa hai đường thẳng A D ′ và B I′ được kết quả là Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB CD a = = . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30° .

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AD a = = và    60 , 90 BAC BAD CAD = = ° = ° . Gọi M là trung điểm của

cạnh CD . Tính độ dài cạnh AC để côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 1 3

.