Tài liệu quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11 CTST

1

Bài 1 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Góc giữa hai đường thẳng. Định nghĩa: • Góc giữa hai đường thẳng a , b trong không gian, kí hiệu ( ) ,a b , là góc

giữa hai đường thẳng 'a và 'b cùng đi qua một điểm và lần lượt song

song hoặc trùng với a và b .

 Chú ý:

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a , b ta có thể lấy một điểm

O nằm trên một trong hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song

song với đường thẳng còn lại.

b) Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ ° 0 đến ° 90 .

c) Nếu

 u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và

 v là vectơ chỉ

phương của đường thẳng b và      ,u v thì góc giữa hai đường

thẳng a và b bằng  nếu     0 90 và bằng   180 nếu

    90 180 . d) Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng  0 .

II. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Định nghĩa: • Hai đường thẳng a , b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng ° 90 .

Chương 8 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG KHÔNG GIAN

2

 Chú ý:

a) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với

đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Trong không gian, khi có hai đường thẳng phân biệt a , b cùng

vuông góc với một đường thẳng thứ ba c thì chưa kết luận được

// a b như trong hình học phẳng.

d) Nếu

 u và

 v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a

và b thì:     . 0 a b u v

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯƠNG THẲNG Phương pháp: + Cách 1: Nắm vững khái niệm cơ bản. Dùng định nghĩa. + Cách 2: Dùng định lí Cosin cho tam giác thường. + Cách 3: Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD :

. cos .

AB CD

AB CD ϕ =



 . Thông thường ta phân tích vectơ AB , CD 

theo ba

vectơ không đồng phẳng a , b , c 

rồi tính . AB CD 

. Ví dụ 1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết

= 3 SA a , SA AB ⊥ , ⊥ SA AD . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) SB và CD . b) SB và SD .

Lời giải

3

a) Tính góc giữa SB và CD .

Ta có: ( ) ( )  // , , CD AB SB CD SB AB SBA ⇒ = = .

  3 tan 3 60 SA a SBA SBA AB a = = = ⇒ = ° .

( )  , 60 SB CD SBA = = °.

b) Tính góc giữa SB và SD .

Ta có: ( ) = + = + =

2 2 2 2 2 2 3 4 SB SA AB a a a

( )

2 2 2 2 2 2 3 4 SD SA AD a a a = + = + =

Và 2 BD a =



2 2 2 2 2 2 4 4 2 3 cos 2. . 2.2 .2 4 SB SD BD a a a BSD SB SD a a + − + − = = =

( )  3 , arccos 4 SB SD BSD = = .

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều . S ABC có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính góc giữa AM và SM . Lời giải

Ta có: 3 2 a AM = và 3 2 a SM = .



2 2

2

2 2 2 3 3 2 2 1 cos 2. . 3 3 3 2. . 2 2

a a a SM AM AS SMA SM AM a a

    + −         + −     = = =

( )  1 , arccos 3 SM AM SMA = = .

4

DẠNG 2: HAI ĐƯƠNG THẲNG VUÔNG GÓC Phương pháp: + Cách 1: Dùng định nghĩa. + Cách 2:  d P a d a     . + Cách 3: Nắm vững khái niệm phương, hướng của 2 vectơ.

Muốn chứng minh . Ta chứng minh .

Thông thường ta phân tích hai vectơ theo ba vectơ không

đồng phẳng rồi chứng minh . Ví dụ 3. Cho hình chóp .S ABC có AB AC = ,   SAC SAB = . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC .

Lời giải

Cách 1:

( )   . . . . . .cos . .cos 0 AS BC AS AC AB AS AC AS AB AS AC SAC AS AB SAB = − = − = − =     

Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90° .

Cách 2: Vì AB AC = ,   SAC SAB = nên SAC SAB ∆ = ∆ , suy ra SB SC = , nên hai tam giác ABC và SBC là tam giác cân. Gọi H là trung điểm

BC , ta có ( ) AH BC SAH BC SH BC

 ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

nên SA BC ⊥ ( ) , 90 SA BC ⇒ = °.

Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90° .

Ví dụ 4. Cho hình hộp . ABCD MNPQ có sáu mặt đều là các hình vuông. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC .

a) Chứng minh: ⊥ EF BD , ⊥ EF AM . b) Tính góc giữa EF và AQ .

Lời giải

⊥ AB CD =  AB.CD 0

AB, CD 

 a,b,c =  AB.CD 0