Bài giảng quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11 KNTTvCS

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 22: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1. Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n . Từ hai điểm phân biệt ,O O ′ tuỳ ý lần

lượt kẻ các cặp đường thẳng ,a b,và , a b ′ ′ tương ứng song song với ( ) , .7.2 m n H .

a) Mỗi cặp đường thẳng ,a a′ và ,b b′ có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm , A B (khác O) tương ứng thuộc ,a b . Đường thẳng qua A song song với OO′ cắt a′ tại

A′, đường thẳng qua B song song với OO′ cắt b′ tại B′. Giải thích vì sao A , OBB O , ABB A OA O ′ ′ ′ ′ ′ ′ là

các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng ,a bvà góc giữa hai đường thẳng , a b ′ ′.

(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác , O A B OAB ′ ′ ′).

Lời giải

a) Mỗi cặp đường thẳng a,a′ và ,b b ′ cùng thuộc một mặt phẳng.

Vì / / , b//b a a′ ′khi đó ( ) ( ) a,b a,b = ′ .

b) Ta có:

/ / / / / /

OA O A OB O B AB A B

′ ′   ′ ′   ′ ′ 

Do đó A , , OA O OBB O ABB A ′ ′ ′ ′ ′ ′là hình bình hành.

c) Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB vàO A B ′ ′ ′ , ta có: ( ) ( ) cos , ; cos , OA O A a b a b OB O B ′ = ′ ′ ′ = ′ ′

Vì O A OA ′ ′ = và O B OB ′ ′ = do a ,b ′ ′ là các đường song song với ,a bnên ta có: ( ) ( ) cos , cos , a b a b ′ ′ =

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu ( ) , m n , là góc giữa hai đường thẳng ,a b

cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n .

Chú ý

• Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b′song song với b . Khi đó ( ) ( ) , , a b a b′ = .

• Với hai đường thẳng ,a b bất kì: ( ) 0 , 90 a b ° ≤ ≤ ° .

? Nếu a song song hoặc trùng với a′ và b song song hoặc trùng với b′ thì ( ) ,a b và ( ) , a b ′ ′ có mối quan

hệ gì?

⇒

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Ví dụ 1. Cho hình hộp D. D ABC A B C ′ ′ ′ ′ có các mặt là các hình vuông. Tính các góc ( ) ( ) ( ) AA ,CD , , D , , A C B AC DC ′ ′ ′ ′ .

Lời giải. ( ) .7.3 H

Vì / / CD AB nên  ( )  ( ) ', ', 90 AA CD AA AB ° = = . Tứ giác ACC A′ ′ có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là

một hình bình hành. Do đó, / / A C AC ′ ′ . Vậy  ( )  ', ( , ' ) 90 A C BD AC BD ° = = .

Tương tự, / / DC AB ′ ′ . Vậy ( )   ( ) , ' , ' AC DC AC AB = . Tam giác AB C ′ có ba cạnh bằng nhau

(vì là các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên nó là một tam giác đều.

Từ đó, ( )  ( )  , , ' 60 ' AC DC AC AB ° = = .

Vận dụng. Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230m , các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp .7.4 H

Lời giải

Xét tam giác vuông ASC .

Với AC là độ dài đường chéo của đáy kim tự tháp, ta có: 2 325.27 AC AB m = ≈

Theo pytago ta có: 2 2 2 2 2 AS 325.27 219 124108,44 AC SC m = − ≈ − ≈

AS 124108.44 3522.24m = ≈

Góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy ABbằng cách sử dụng định lý sin trong tam giác vuông ASC :

'/ / ' DC AB