Bài giảng quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11 CTST

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng. Có góc giữa hai đường thẳng chéo nhau không? Nếu có, làm thế nào để xác định?

Lời giải Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b : Kẻ 1 đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a . Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c .

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian. Qua một điểm M tuỳ ý vẽ // a a ′ và vẽ // b b ′ . Khi thay đổi vị trí của điểm M , có nhận xét gì về góc giữa a′ và b′?

Lời giải Khi thay đổi vị trí của điểm M thì góc giữa ' a và ' b không thay đổi

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a , b trong không gian, kí hiệu ( ) ,a b , là góc giữa hai đường thẳng a′ và

b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b .

Chú ý: a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a , b ta có thể lấy một điểm O nằm trên một trong hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại. b) Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0° đến 90°. Ví dụ 1. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có 6 mặt đều là hình vuông và M , N , E , F lần lượt là trung điểm các cạnh BC , BA , AA′ , A D ′ ′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) A C ′ ′ và BC ; b) MN và EF .

Lời giải

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

a) Ta có // AC A C ′ ′, suy ra ( ) ( )  , , 45 A C BC AC BC ACB ′ ′ = = = ° (tam giác ABC vuông cân tại B ).

b) Ta có // AC MN , // AD EF ′ , suy ra ( ) ( )  , , 60 MN EF AC AD CAD ′ ′ = = = ° ( tam giác ACD′ có ba

cạnh bằng nhau).

Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có 6 mặt đều là hình vuông M , N , E , F lần lượt là trung điểm

các cạnh BC , BA , AA′ , A D ′ ′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) MN và DD′; b) MN và CD′; c) EF và CC′ .

Lời giải

a) Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN / /AC Mà AA' // DD' Nên góc giữa MN và DD' là góc giữa AC Và AA′ b) Vì MN//AC nên góc giữa MN và CD là góc giữa AC và CD′ c) Trong tam giác AA D ′ ′ có EF là đường trung bình nên / / EF AD′ Mà CC'//AA' Nên góc giữa EF và CC′ là góc giữa AA′ và AD′

Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác OMN vuông

cân tại O . Tính góc giữa hai thanh gỗ a và b .

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Lời giải Vì / / a OM nên góc giữa a và b là góc giữa MN và OM .

Mà tam giác OMN vuông cân nên góc giữa a và b là 45o .

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp

đường thẳng: a) AB và BB′ ; b) AB và DD′. Lời giải

a) ABB A ′ ′là hình vuông nên góc giữa ' AB và BB là 90o .

b) Vì '/ / ' DD AA nên góc giữa ' AB và DD là góc giữa ' AB và AA và bằng 90o . Định nghĩa

Hai đường thẳng a , b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Hai đường thẳng a , b vuông góc được kí hiệu là a b ⊥ hoặc b a ⊥ . Ví dụ 2. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có 6 mặt đều là hình vuông. Chứng minh rằng AB CC′ ⊥ , AC B D ′ ′ ⊥ .

Lời giải