Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Diệp Tuân

Trung Tâm LTĐH Amsterdam – Huế Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị hàm số

Lớ p Toán - Thầ y Diệ p Tuân Tel: 0935.660.880 Trang 1

A. LÝ THUYẾT. I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa:

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f xác định trên

K được gọi là:

Hàm số ( ) y f x = được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 . , , x x x K x x f x f     

Khi đó, đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số ( ) y f x = được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 , , x x K x x f x f x     

Khi đó, đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Hình ảnh minh họa sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi

( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 . , , x x x K x x f x f     

Nghịch biến (giảm) trên K nếu với

( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 , , x x K x x f x f x     

.  Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị của hàm số ( ) | | y f x x = = . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Lời giải

Tập xác định của hàm số là . Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) +, nghịch biến trên khoảng ( ;0) − .

§Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trung Tâm LTĐH Amsterdam – Huế Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị hàm số

Lớ p Toán - Thầ y Diệ p Tuân Tel: 0935.660.880 Trang 2

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 3.1. Định lý:

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ). Khi đó

Nếu ( ) ' 0 f x  với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

Nếu ( ) ' 0 f x  với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

Nếu ( ) ' 0 f x = với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Chú ý:

Nếu hàm số f liên tục trên   ;a b và có đạo hàm ( ) ' 0  f x trên khoảng ( ) ;a b thì

hàm số f đồng biến trên   ;a b .

Nếu hàm số f liên tục trên   ;a b và có đạo hàm ( ) ' 0  f x trên khoảng ( ) ;a b thì

hàm số f nghịch biến trên   ;a b .

 Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số 2 4 2 y x x = − + .

Lời giải .................................................................................................. ..............................................................................................

.................................................................................................. ..............................................................................................

.................................................................................................. ..............................................................................................

.................................................................................................. ..............................................................................................

3.2. Hệ quả. ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu '( ) 0 f x  với x I  (hoặc '( ) 0 f x  với x I ) và ( ) 0 f x  = tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chướng trình.

 Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc ( ) ( ) ( ) P x f x Q x =

(trong đó ( ) P x là đa thức bậc hai , ( ) Q x là đa thức bậc nhất và ( ) P x không

chia hết cho ( ) Q x thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K

, '( ) 0 ( '( ) 0) x K f x f x    .

 Nếu hàm số f là hàm nhất biến ( ) ax b f x cx d + = + với , , , a b c d là các số thực và

0 ad bc −  thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K

) . , '( ) 0( '( 0) x K f x f x   

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x  với mọi x I 

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x  với mọi x I 