Toán thực tế ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm tính đợn điệu của hàm số.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và ( ) y f x  là hàm số xác định trên

K . +) Hàm số ( ) y f x  được gọi là đồng biến trên K nếu

1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ). x x K x x f x f x     

+) Hàm số ( ) y f x  được gọi là nghịch biến trên K nếu

1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ). x x K x x f x f x     

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên . K Chú ý: + Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.

2. Định lý: Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa

khoảng. +) Nếu ( ) 0, f x x K     thì hàm số ( ) y f x  đồng biến trên khoảng K .

+) Nếu ( ) 0, f x x K     thì hàm số ( ) y f x  nghịch biến trên khoảng K .

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Chú ý. Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp ( ) f x ′ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K

.

Người ta chứng minh được rằng, nếu ( ) 0 f x ′ = với mọi x K ∈ thì hàm số ( ) f x không đổi

trên khoảng K . 3. Định lý: (Tổng quát) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên K , trong đó K là một khoảng,

đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu ( ) 0, f x x K     và ( ) 0 f x   xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số

( ) y f x  đồng biến trên khoảng K .

+) Nếu ( ) 0, f x x K     và ( ) 0 f x   xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số

( ) y f x  nghịch biến trên khoảng K .

4. Lưu ý:

+) Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn [ ; ] a b và '( ) 0, ( ; ) f x x a b    thì ta nói hàm số đồng

biến trên đoạn [ ; ]. a b

+) Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn [ ; ] a b và '( ) 0, (a; ) f x x b    thì ta nói hàm số

nghịch biến trên đoạn [ ; ]. a b

+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng. 5. Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số.

Để xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm ( ) y f x ′ ′ = . Tìm các điểm ( ) 0;1;2;... ix i = mà tại đó ( ) 0 f x ′ = hoặc làm

cho ( ) f x ′ không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các ( ) 0;1;2;... ix i = theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT. Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của f(x) và dự đoán. Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba). II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ