Tài liệu ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số cấu trúc mới

1

Chương

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂKHẢO SÁT VÀ VẼĐỒTHỊHÀM SỐ

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊCỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.1. GiảsửK là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm sốxác định trên K.

Ì Hàm sốy = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1, x2 ∈K, x1 < x2 ⇒f (x1) < f (x2).

Ì Hàm sốy = f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x1, x2 ∈K, x1 < x2 ⇒f (x1) > f (x2).

Lưu ý

Ì Nếu hàm sốđồng biến trên K thì đồthịcủa hàm sốđi lên từtrái sang phải (H.1.3a). Nếu hàm sốnghịch biến trên K thì đồthịcủa hàm sốđi xuống từtrái sang phải (H.1.3b).

O

f(x)

x

y

a b

a) Hàm sốđồng biến trên (a; b)

O

f(x)

x

y

a b

b) Hàm sốnghịch biến trên (a; b)

Ì Hàm sốđồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốcòn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

Ì Khi xét tính đơn điệu của hàm sốmà không chỉrõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm sốđó.

Định lý 1.1. Giảsửhàm sốy = f(x) có đạo hàm trên K và f ′(x) = 0 tại một sốhữu hạn điểm trên K. Khi đó:

Ì Nếu f ′(x) ≥0 với mọi x ∈K thì hàm sốy = f(x) đồng biến trên K.

Ì Nếu f ′(x) ≤0 với mọi x ∈K thì hàm sốy = f(x) nghịch biến trên K.

LÊ QUANG XE- 0967 003 131

4 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂKHẢO SÁT VÀ VẼĐỒTHỊHÀM SỐ

o Chiều ngược lại của các khẳng định trên cũng đúng, nghĩa là nếu hàm sốy = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K thì f ′(x) ≥0 (f ′(x) ≤0) với mọi x ∈K.

2. Cực trịcủa hàm số

Định nghĩa 1.2. Cho hàm sốy = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thểlà −∞, b có thểlà +∞) và điểm x0 ∈(a; b).

Ì Nếu tồn tại sốh > 0 sao cho f(x) < f (x0) với mọi x ∈(x0 −h, x0 + h) ⊂(a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm sốf(x) đạt cực đại tại x0.

Ì Nếu tồn tại sốh > 0 sao cho f(x) > f (x0) với mọi x ∈(x0 −h, x0 + h) ⊂(a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại x0.

o Ì Nếu hàm sốy = f(x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm sốf(x). Khi đó, f (x0) được gọi là giá trịcực đại của hàm sốf(x) và kí hiệu là fCĐ hay yCĐ. Điểm M0 x0; f (x0)) được gọi là điểm cực đại của đồthịhàm số.

Ì Nếu hàm sốy = f(x) đạt cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm sốf(x). Khi đó, f (x0) được gọi là giá trịcực tiểu của hàm sốf(x) và kí hiệu là fCT hay yCT. Điểm M0 x0; f (x0) được gọi là điểm cực tiểu của đồthịhàm số.

Ì Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trịcực đại và giá tri cực tiểu được gọi chung là giá trịcực trị(hay cực trị) của hàm số.

Phương pháp 1.1. Các bước xét tính đơn điệu và tìm cực trịcủa hàm sốy = f(x)

Ì Tìm tập xác định của hàm sốy = f(x);

Ì Tính f ′(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f ′(x) bằng 0 hoặc f ′(x) không tồn tại;

Ì Lập bảng biến thiên của hàm sốvà suy ra tính đơn điệu, cực trịcủa hàm số.

VÍ DỤMINH HỌA B

Ví dụ1

Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trịcủa hàm sốsau (hàm đa thức)

y = −x3 + 3x2 −4; a) y = x3 −3x2 + 1; b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2; c)

y = −2x4 + 4x2; d) y = x4 + 4x3 −1; e) y = −16x4 + x −1. f)

b Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ2

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trịcủa các hàm sốsau

LÊ QUANG XE- 0967 003 131