Toán thực tế xác suất có điều kiện Toán 12

CHUYÊN ĐỀ VI – XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Page 141 Sưu tầm và biên soạn

BÀI: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

I. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Cho hai biến cố A và B . Xác suất của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A . Kí hiệu là ( ) | P B A .

II. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Cho A và B là hai biến cố, trong đó  0 P B  . Khi đó      | P A B P A B P B   .

Chú ý 1: 1. Ta cũng ký hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB . 2. Trong thực tế, người ta thường dùng tỉ lệ phần trăm để mô tả xác suất. Chẳng hạn, phát biểu “Khả năng xảy ra một sự kiện là 20%” cũng có nghĩa là “Xác suất xảy ra sự kiện đó là 0,2”, phát biểu “Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%” cũng có nghĩa là “Nếu chọn ra ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, xác suất sản phẩm đó là phế phẩm là 0,05”. Chú ý 2: 1. Từ công thức xác suất có điều kiện, với  0 P B  , ta có      . | P AB P B P A B  .

2. Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được rằng với A , B là hai biến cố bất kì thì      . | P AB P B P A B  . Công thức trên gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố.

Chú ý 3:

1. Với mọi biến cố A và B , trong đó  0 P B  , ta có     | 1 | P A B P A B  .

2. Với A và B là hai biến cố độc lập, trong đó  0 1 P B  , người ta chứng minh được rằng

     | | P A B P A B P A   .

Từ đẳng thức trên, ta thấy khi A và B độc lập thì việc biến cố B xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A . III. SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7. Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ? ở sơ đồ hình cây sau:

CHƯƠNG

VI

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Page 142 Sưu tầm và biện soạn

Hướng dẫn: Ở, gọi A là biến cố “Ngày thứ Bảy trời nắng” và B là biến cố “Ngày Chủ nhật trời mưa”.

Ta có ( ) 0,7 P A = ; ( ) 0,2 P B A = ; ( ) 0,3 P B A = .

Do đó ( ) ( ) 1 0,3 P A P A = − = ; ( ) ( ) 1 0,8 P B A P B A = − = ; ( ) ( ) 1 0,7 P B A P B A = − = .

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là

( ) ( ) ( ) 0,7.0.2 0,14 P AB P A P B A = = =

Tương tự, ta có

( ) ( ) ( ) . 0,7.0,8 0,56 P AB P A P B A = = = ;

( ) ( ) ( ) . 0,3.0,3 0,09 P AB P A P B A = = = ;

( ) ( ) ( ) . 0,3.0,7 0,21 P AB P A P B A = = = .

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ cây như sau:

Nhận xét: Trên sơ đồ hình cây: - Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện. - Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó. Ví dụ: Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí gửi. Máy phát chuông cảnh báo với 95% các kiện hành lí có chứa hàng cấm và 2% các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là 0,1%. Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: M: “Kiện hành lí có chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo”;

0,3