Bài tập xác suất có điều kiện có đáp án và hướng dẫn giải - Lê Minh Kha

3 ∠Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Kha - 0399653362

XÁC XUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Chương

I

BÀI 1. XÁC XUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cốA và B. Xác suất của biến cốA khi biến cốB đã xảy ra được gọi là "xác suất của A với điều kiện B", kí hiệu P(A|B).

2. Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cốA và B bất kì với P(B) > 0. Khi đó:

P(A|B) = P(AB)

P(B) = n(AB)

n(B)

Chú ý:

- Từcông thức xác suất có điều kiện, với P(B) > 0, ta có P(AB) = P(B).P(A|B).

- Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được rằng:

P(AB) = P(A).P(B|A) = P(B).P(A|B) Công thức trên được gọi là **công thức nhân xác suất** cho hai biến cốbất kì.

Chú ý:

- P(A|B) + P( ¯A|B) = 1 với P(B) > 0.

- Cho A và B là hai biến cốvới 0 < P(A) < 1; 0 < P(B) < 1. Khi đó nếu A và B là hai biến cốđộc lập, người ta chứng minh được rằng:

P(A) = P(A|B) = P(A| ¯B) và P(B) = P(B|A) = P(B| ¯A) Từđẳng thức trên, ta thấy khi A và B độc lập thì việc biến cốB xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cốA và ngược lại.

Một sốcông thức hay dùng:

- P(A) + P( ¯A) = 1

4 ∠Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Kha - 0399653362

- P(AB) + P(A ¯B) = P(A)

- P(AB) + P( ¯AB) = P(B)

Ω A B

A ¯B AB ¯AB

3. Sơ đồhình cây

A

¯A

P(A)

P( ¯A)

B

¯B

P(B|A)

P( ¯B|A)

B

¯B

P(B| ¯A)

P( ¯B| ¯A)

P(AB) = P(A).P(B|A)

P(A ¯B) = P(A).P( ¯B|A)

P( ¯AB) = P( ¯A).P(B| ¯A)

P( ¯A. ¯B) = P( ¯A).P( ¯B| ¯A)

Nhận xét: Trên sơ đồhình cây:

Xác suất của các nhánh trong sơ đồhình cây từđỉnh thứhai là xác suất có điều kiện.

Xác suất xảy ra của mỗi kết quảbằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quảđó.

5 ∠Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Kha - 0399653362

BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC XUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cốA và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó:

P(A) = P(B).P(A|B) + P( ¯B).P(A| ¯B).

Công thức trên gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cốB bất kì.

2. Công thức Bayes

GiảsửA và B là hai biến cốngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó:

P(B|A) = P(B).P(A|B) P(B).P(A|B) + P( ¯B).P(A| ¯B).

Công thức trên gọi là công thức Bayes.

Chú ý: Với P(A) > 0, công thức P(B|A) = P(B).P(A|B)

P(A) cũng được gọi là công thức Bayes.

6 ∠Sưu tầm và Biên soạn: Lê Minh Kha - 0399653362

BÀI TẬP ÔN LUYỆN Phần II. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

c Câu 1. Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cốxuất hiện mặt 2 chấm. B là biến cốxuất hiện mặt chẵn. Xác suất P(A|B) là

A 1 2. B 1 3. C 2 3. D 1 6.

c Câu 2. Cho hai biến cốA và B có P(A) = 0, 3; P(B) = 0, 6; P(A ∩B) = 0, 2. Xác suất P(A|B) là

A 1 2. B 1 3. C 2 3. D 1 6.

c Câu 3. Từmột hộp có 4 tấm thẻcùng loại được ghi sốlần lượt từ1 đến 4. Bạn An lấy ra một cách ngẫu nhiên một thẻtừhộp, bỏthẻđó ra ngoài và lại lấy một cách ngẫu nhiên thêm một thẻnữa. Xét biến cốA là "thẻlấy ra lần thứnhất ghi số3". Sốcác kết quảthuận lợi của biến cốA là

A 3. B 2. C 4. D 1.

c Câu 4. Cho hai biến cốđộc lập A, B với P(A) = 0, 8; P(B) = 0, 3. Khi đó, P(A|B) bằng

A 0, 8. B 0, 3. C 0, 4. D 0, 6.

c Câu 5. Cho hai biến cốA, B với P(B) = 0, 7; P(AB) = 0, 3. Tính P(A|B)

A 3 7. B 1 2. C 6 7. D 1 7.

c Câu 6. Nếu hai biến cốA, B thỏa mãn P(B) = 0, 7; P(A ∩B) = 0, 2 thì P(A|B) bằng:

A 5 7. B 1 2. C 7 50. D 2 7.

c Câu 7. Nếu hai biến cốA, B thỏa mãn P(A) = 0, 4; P(B|A) = 0, 6 thì P(A ∩B) bằng:

A 6 25. B 2 3. C 1 5. D 1.

c Câu 8. Nếu hai biến cốA, B thỏa mãn P(A) = 0, 4; P(B|A) = 0, 3 thì P(AB) bằng:

A 3 25. B 7 10. C 1 10. D 3 4.

c Câu 9. Nếu hai biến cốA, B thỏa mãn P(B) = 0, 5; P(AB) = 0, 3 thì P( ¯AB) bằng:

A 3 20. B 4 5. C 1 5. D 3 5.