Tính khoảng cách trong hình học không gian bằng phương pháp thể tích - Nguyễn Tuấn Anh

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

1

Câu khoảng cách trong đề thi THPTQG

Câu khoảng cách của hình học không gian (thuần túy) trong đề thi THPTQG dù không là một câu khó

nhưng để có thể nhìn được chân đường cao hoặc đoạn vuông góc chung đối với học sinh trung bình yếu

không phải dễ. Bài viết mong muốn giúp các em tự tin hơn với câu này, dù là điểm 8,9,10 là khó lấy, nhưng

điểm 7 với các em thì hoàn toàn có thể. (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nhau nên khó lòng trích

dẫn các nguồn ở đây xin chân thành cám ơn các tác giả, các nguồn tài liệu đã tham khảo để viết bài này).

I) Ý tưởng: Ta có một hình chóp: .S ABC việc tính thể tích của khối chóp

này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ( ) ABC ),

ta cần tính khoảng cách từ C đến ( ) SAB tức tìm chiều cao CE . Vì thể của

hình chóp là không thay đổi dù ta có xem điểm nào đó ( , , , ) S A B C là đỉnh

vì vậy nếu ta biết diện tích SAB ∆ thì khoảng cách cần tìm đó 3

SAB

V CE S∆ = . Có thể gọi là dùng thể tích 2 lần.

Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích của tam giác:

( )( )( ) ABC S p p a p b p c ∆ = − − − với p là nửa chu vi và , , a b c là kích thước của 3 cạnh.

II) Ví dụ minh họa:

VD1: (A-2013) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 30 O ABC = ; SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ

C đến ( ) SAB .

Lời giải

Gọi E là trung điểm của BC khi đó ( ) SE ABC ⊥ và 3 2 a SE = .

Ta có 3 ; 2 2 a a BC a AB AC = ⇒ = = vì vậy thể tích

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

2

của khối chóp là:

3

. 1 3 1 3 . . . . 3 2 2 2 2 16 S ABC a a a a V = =

Để tính khoảng cách từ C đến ( ) SAB ta cần tính diện tích SAB ∆ .

Ta có

2 2 2 2 3 3 ; 2 2 2 a a a AB SB a SA SE EA a     = = = + = + =         , Áp dụng công thức Heron ta được:

2 3 39 2 ( )( - )( - ); 2 16 SAB a a a S p p SA p SB p AB p a ∆

  + +   = − = =      

Vậy . 3 39 ( ;( )) 13

S ABC

SAB

V a d C SAB S∆ = =

Nhận xét: Với cách tính trên khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đều ra đẹp. So với cách tính

bằng tọa độ hóa thì cách tình này đơn giản hơn rất nhiều về tính toán và trình bày chỉ khó ở khâu tính diện

tích (nhưng máy tính đã đảm nhận), so với cách lùi về E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ ) với

học sinh trung bình yếu có thể nói đây là lựa chọ tốt nhất.

VD2: (B-2013) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng

cách từ A đến ( ) SCD .

Lời giải

Gọi E là trung điểm của AB khi đó ( ) SE ABC ⊥ , và 3 2 a SE = .

Vì vậy thể tích khối chóp cần tính là

3 2 . 1 3 3 3 2 6 S ABCD a a V a = =

Ta cần tính khoảng cách từ A đến ( ) SCD , ta quan sát khối chóp .S ACD có thể tích là

3 2 . 1 3 1 3 3 2 2 12 S ACD a a V a = = vì vậy để tính được khoảng cách ta cần có diện tích của SCD ∆ .

Nguyễn Tuấn Anh 1110004

3

Ta có

2 2 2 2 2 ; 2 CD a SD SC SE DE SE DA AE a = = = + = + + = , Áp dụng công thức Heron ta được:

2 2 2 7 ( )( - )( - ); 2 4 SCD a a a S p p CD p SD p SC p a ∆   + + = − = =    

Vì vậy ( )

. 3 21 ;( ) 7

S ACD

SCD

V d a SCD a S∆ = =

VD3: (A-2014) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 2 a SD = , hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng ( ) ABCD trùng với trung điểm của cạnh AB . Tính theo a thể tích khối chóp

.S ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( ) SBD .

Lời giải

Gọi E là trung điểm của AB khi đó ( ) SE ABC ⊥ , dùng định lý Pitago ta tính được: SE a = .

Từ đó

3 . 1 3 S ABCD V a =

Ta cần tính khoảng cách từ A đến ( ) SBD ta quan sát hình chóp .S ADB có thể tích là

2 3 1 1 1 . . 3 2 6 a a a = vậy

nên nếu ta tìm được diện tích tam giác SBD ∆ bài toán sẽ được

giải quyết.

Ta có 3 5 2; ; 2 2 a BD a SD SB a = = = Áp dụng công thức Heron

ta được:

2 3 5 2 3 2 2 ( )( )( ); 2 4 SBD

a a a S p p SB p SD p BD p a ∆

  + +     = − − − = =      …