Bài toán cực trị hình học trong không gian - Quách Đăng Thăng

Sở Giáo Dục & Đào Tạo Hưng Yên Trường THPT Phù Cừ -----------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN

Họ và Tên : Quách Đăng Thăng Tổ : Toán - Tin Chức Vụ : Giáo viên

LỜI MỞ ĐẦU

Thực tếgiảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, phần lớn các em học môn Toán rất yếu đặc biệt là hình học không gian, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy môn Hình học phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu, cảm nhận. Đã có hiện tượng một số bộ phận học sinh không muốn học Hình học, ngày càng xa rời với giá trị thực tiễn của Hình học. Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn nhiều. Do đó phương pháp ít có tiến bộ mà người giáo viên đã trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức một chiều, còn học sinh không chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức - kiến thức Hình học làm cho học sinh không thích học môn Hình học. Tuy nhiên với việc đại số hóa hình học thì các bài toán hình học không gian trở lên đơn giản và dễ nhìn hơn. Gần đây trong các đề thi Đại học hàng năm đã bắt đầu xuất hiện các bài toán cực trị hình học trong không gian mà đôi khi việc giải các bài toán này một cách trực tiếp bằng kiến thức hình học không gian thuần tuy là vô cùng khó khăn. Chính vì lý do đó tôi chọn đề tài “Bài toán cực trị hình học trong không gian”. Trong phạm vi bài viết này, với mong muốn giúp các e có thêm một tài liệu ôn thi Đại học – Cao đẳng và đồng thời để các e hiểu được rằng bài toán cực trị nói chung và bài toán cực trị trong hình học không gian không phải là quá khó không thể giải quyết được. Đối tượng áp dụng chủ yếu cho tài liệu này về cơ bản là trên lớp 12A2, ngoài ra tôi cũng đan xen trong các tiết học của các lớp 12A6 và 12A8. Đối tượng nghiên cứu là các tài liệu sách giáo khoa Hình học 12, sách bài tập Hình học 12 cơ bản và nâng cao, các bài giảng trên mạng Internet, các tài liệu và forum trên các diễn đàn Toán học trên mạng Internet cùng một số tài liệu tham khảo khác. Phù Cừ, ngày 30 tháng 4 năm 2013 Người viết

Quách Đăng Thăng

Sáng kiến kinh nghiệm năm học Trường THPT Phù Cừ

Giáo viên; Quách Đăng Thăng - Tổ Toán - Tin 2

NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Muốn tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lượng hình học biến thiên f ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: 1. Vận dụng các kết quả hình học cơ bản để so sánh trực tiếp f với một đại lượng không đổi cho trước. Sau đây là một vài kết quả cơ bản: a. ∀A, B,C, AB + BC ≥ CA. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. b. Nếu △ABC vuông tại A thì: AB < BC và AC < BC. c. Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại. d. Trong tất cả các đoạn thẳng vẽ từ một điểm M đến mặt phẳng ( ) α (hoặc đường thẳng d) không chứa điểm M thì đoạn vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất. e. Đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn thẳng ngắn nhất nối liền hai điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng đó. 2. Nếu f được biểu thị thành một biểu thức của nhiều đại lượng biến thiên và các đại lượng này lại được ràng buộc với nhau bởi một hệ thức liên hệ thì ta sử dụng các bất đẳng thức đại số để tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của f. Các bất đẳng thức thường dùng là: a. Bất đẳng thức Cô si:

∀ 1 2 , , n a a a … ≥0, 1 1 1 2 n n

n a a a a a a n + + ≥ … …

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 1 1 n a a a = = …

b. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki:

∀ 1 2 , , n a a a … , 1 2 , , n x x x … ,

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( )( )( ) n n n n a x a x a x a x a x a x + + ≤ + + + …

Dấu bằng xảy ra khi ⇔ ∃ k ∈R, 1 1 2 2 , ,..., n n x ka x ka x ka = = =

3. Nếu f được biểu thị bằng một hàm số của một biến số x thì ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên miền xác định của nó, …