Bài toán cực trị hình học không gian và các khối lồng nhau - Trần Đình Cư

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU

Trong quá trình tìm kiếm lời giải nhiều bài toán hình học, sẽ rất có lợi nếu chúng ta xem xét các

phần tử biên, phần tử giới hạn nào đó, tức là phần tử mà tại đó mỗi đại lượng hình học có thể nhận

giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn như cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ nhất của một tam

giác; góc lớn nhất hoặc góc nhỏ nhất của một đa giác v.v…

Những tính chất của các phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều khi giúp chúng ta tìm được lời giải

thu gọn của bài toán.

Phương pháp tiếp cận như vậy tới lời giải bài toán được gọi là nguyên tắc cực hạn.

Như vậy bài toán cực trị hình học là cần thiết trong không gian, nó thường xuất hiện ở những câu

hỏi khó trong phần thi trắc nghiệm THPT Quốc gia.

PHƯƠNG PHÁP

Cơ sở của phương pháp cần kết hợp giữa các quan điểm tìm cực trị như sau:

1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG

Bất đẳng thức Cauchy cho các biến đại lượng không âm.

     

     

2 f x A x B x 2 A x .B x const; x D 1

A x B x g x A x .B x const; x D 2 2

                       

Nếu 0 x D   , để đẳng thức trong (1) hoặc (2) xảy ra     0 0 A x B x     

  

0 x D

0 x D

minf x f x

maxg x g x





     

(ycbt)

Bất đẳng thức Schwartz cho các biến đại lượng tùy ý.

        

       

2 2 2 2

2 2 2 2 2

p x a x . x b x . x a x b x x x const; x D 3

q x a x b x x x a x x b x x const; x D 4

               

                   

Nếu 0 x D   , để đẳng thức trong (3) hoặc (4) xảy ra:

   

   

  

  

0 0 0 x D

0 0 0 x D

maxp x p x a x b x

x x minq x q x





         

(ycbt)

2. SỬ DỤNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

   h x sinu x .cosu x 1  ;

nếu        0 0 0 x D 0

sinu x 1 x D : maxh x h x 1 cosu x 1 

       

 

3. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ LẬP BẢNG BIẾN THIÊN

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3

4. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ HÌNH HỌC CỰC HẠN

  

MH là đường vuông góc

MA là đường xiên

HA laø hình chieáu

minMA MH A H    

Từ ý nghĩa đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn, ta có:

Hệ quả: M ở trên đường tròn (AB) đường kính AB; với O là tâm

thì: maxd M;AB CO MH CO;CO AB        

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng là độ dài đường

vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để    min MA MB

Đây là bài toán Bất đẳng thức , cần phân biệt các trường hợp:

o A, B ở khác bên so với (d):

MA MB AB  

  

   0

min MA MB AB

töông öùng: M M AB d

 

  

o A, B ở cùng bên so với (d):

Dựng A’ đối xứng với A qua (d).

Lúc đó: A’ và B ở khác bên so với (d), nên trở về

trường hợp trên:

MA MB AB MA' MB' AB     

        0

min MA MB min MA' MB AB

töông öùng: M M A'B d

   

  

Kết luận: Vậy trong mọi trường hợp ta xác định được M thỏa mãn ycbt.

Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để  max MA MB

Tương tự, cần phân biệt hai trường hợp:

o A, B ở cùng bên so với (d)

 

  

MA MB AB

max MA MB AB

tương ứng    0 M M AB d   

o A, B ở khác bên so với (d)

(d) M0

A

B

M

(d) M0

A

B

M

(d) I M0

A'

A

B

M

M

H A

C

H O A B

M