Tài liệu chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Page 1

BÀI 1. KHỐI ĐA DIỆN

1. Khái niệm về hình đa diện

• Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất

i. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

ii. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

• Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.

• Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

• Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

• Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.  Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. • Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

 Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. • Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của hình đa diện tương ứng.

• Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.

• Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.

• Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt.

• Tương tự ta có định nghĩa về khối n −giác; khối chóp cụt n −giác, khối chóp đều, khối hộp,…

• Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

CHƯƠNG

I

KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Page 2

Ví dụ:

 Các hình dưới đây là những khối đa diện:

 Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

3. Một số kết quả quan trọng  Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.  Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh  Kết quả 3: Cho là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có cạnh. Nếu số mặt của

là lẻ thì phải là số chẵn.

Chứng minh: Gọi là số mặt của khối đa diện . Vì mỗi mặt của có cạnh nên

mặt sẽ có cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của

bằng . Vì lẻ nên phải là số chẵn.

 Kết quả 4: (suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho là đa diện có mặt, mà các mặt của

nó là những đa giác cạnh. Khi đó số cạnh của là .

 Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số mặt của nó phải là một số chẵn.

(H) p

(H) p

m (H) (H) p m

pm (H)

2 pm c = m p

(H) m

p (H) 2 pm c =

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Page 3

Chứng minh:Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là và . Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện

là (có thể áp dụng luôn kết quả 4 để suy ra ).

Suy ra là số chẵn là số chẵn. Ví dụ + Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.

+ Xét tam giác BCD và hai điểm , A E ở về hai phía của mặt phẳng ( ) BCD . Khi đó ta có lục

diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác.

+ Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là các tam giác. + Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm , M N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó

khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác.

 Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia thành những khối tứ diện.  Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.  Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. Tổng quát : Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn.

 Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.  Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện ó 7 cạnh.  Kết quả 11: Với mỗi số nguyên luôn tồn tại một hình đa diện có cạnh.  Kết quả 12: Với mỗi số nguyên luôn tồn tại một hình đa diện có …