Chuyên đề toán thực tế giới hạn và hàm số liên tục Toán 11

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11  WEB: Toanthaycu.com

Trần Đình Cư: 0834332133 1

CHUYÊN ĐỀ 8: GIỚI HẠN DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các định nghĩa a) Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số ( ) n u có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,

kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 n n u →+∞ = .

- lim n n u a →+∞ = nếu ( ) lim 0 n n u a →+∞ − = .

Chú ý

- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số ( ) n u với ( 1)n n u = − .

- Ta có thể viết tắt l l im à im l n n n u u →+∞

b) Giới hạn vô cực

- Dãy số ( ) n u có giới hạn +∞ khi n dần tới dương vô cực nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể

từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u →+∞ = +∞.

- lim n n u →+∞ = −∞ nếu ( ) lim n n u →+∞− = +∞.

c) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn 1 1 1 1 , , , , n u u q u q − … … có công bội q thoả mãn | | 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô

hạn. Tổng của cấp số nhân đó là: 1 1 1 1 1 . 1

n u S u u q u q q

− = + +…+ +…= −

2. Định lí về giới hạn hữu hạn - Nếu lim ,lim n n u a v b = = thì:

( ) ( )

( ) ( )

lim ; lim ;

lim ; lim 0, 0 .

n n n n

n n n n n

u v a b u v a b

u a u v a b v b v b

+ = + − = −

⋅ = ⋅ = ≠ ≠



- Nếu 0 nu ≥ với mọi n và lim nu a = thì 0 a ≥ và lim n u a = .

3. Một số giới hạn cơ bản

- 1 1 lim 0;lim 0 k n n = = với k là số nguyên dương cho trước;

- lim 0;lim 0 k c c n n = = với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;

- Nếu | | 1 q < thì lim 0 n q = ;

 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11  WEB: Toanthaycu.com

Trần Đình Cư: 0834332133 2

- 1 lim 1 2,718281828459045

n e n   + = ≈    

- lim k n = +∞ với k là số nguyên dương cho trước;

- lim n q = +∞ nếu 1 q > là số thực cho trước;

- Nếu lim nu a = và ( lim nv = +∞ hoặc ) lim nv = −∞ thì lim 0 n

n

u v = ;

- Nếu lim , 0 nu a a = > và lim 0, 0 n n v v = > với mọi n thì lim n

n

u v = +∞;

- Nếu lim , 0 nu a a = > và lim nv = ±∞ thì ( ) lim n n u v = ±∞.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3.

Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích n S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Câu 2: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian 24000 T = năm thì một nửa số chất

phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì

bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021)

Gọi nu là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n .

a) Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số ( ) n u .

b) Chứng minh rằng ( ) n u có giối hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10 g − .