Chuyên đề giới hạn và hàm số liên tục môn Toán 11 chương trình mới

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

1

Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Định nghĩa 1: Ta nói dãy số ( ) n u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn

một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 n n u →+ = hay 0 n u → khi n →+.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau:

• 1 lim 0 k n n →+ = với k là một số nguyên dương

• lim 0 n

n q →+ = nếu | | 1 q 

• Nếu n n u v  với mọi 1 n  và lim 0 n n v →+ = thì lim 0 n n u →+ = .

Định nghĩa 2: Ta nói dãy số ( ) n u có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu ( ) lim 0 n n u a →+ − =

và kí hiệu lim n n u a →+ = hay n u a → khi n →+.

a) Nếu lim n u a = và lim nv b = thì

( ) lim n n u v a b • + = + ( ) lim n n u v a b • − = −

( ) lim . . n n u v a b • = lim n

n

u a v b

  • =    

(nếu 0 b  ).

b) Nếu lim

0,

n

n

u a

u n

=     

thì lim . 0

n u a

a

 =  

Cấp số nhân vô hạn n u có công bội q , với 1 q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức sau đây:

C

H

Ư

Ơ

N

G

5

GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 BÀI

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1 Giới hạn của dãy số

2 Định lý về giới hạn hữu hạn

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

2

Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI

1 2 3

1 1 . 1 n S u u u u u q q

Ta nói dãy số ( ) n u có giới hạn là + khi n →+. Nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một

số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim nu = + hay n u →+ khi . n →+

• Dãy số ( ) n u có giới hạn là − khi n →+ nếu ( ) lim n u − = +.

Kí hiệu: lim n u = − hay n u →− khi . n →+

Nhận xét: ( ) lim lim . n n u u = + − = −

Ta thừa nhận các kết quả sau:

• lim kn = + với k nguyên dương • lim n q = +nếu 1 q .

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

• Nếu lim n u a = và lim nv =  thìlim 0 n

n

u

v = .

• Nếu lim 0 n u a =  , lim 0 nv = và 0, 0 nv n   thì lim . n

n

u

v = +

• Nếu lim n u = + và lim 0 nv a =  thì lim . . n n u v = +

4 Giới hạn vô cực của dãy số

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

3

Chương 5. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11 – CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Dạng 1: Tính giới hạn bằng định nghĩa, định lí về giới hạn dãy số

Phương pháp:

• Để chứng minh lim 0 n u = ta chứng minh

0 a  nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số an sao cho n a u a n n  

• Để chứng minh lim n u L = ta chứng minh ( ) lim 0 nu L − =

• Để chứng minh lim n u = + ta chứng minh

0 M   lớn tùy ý luôn tồn tại một số M n sao cho n M u M n n  

• Để chứng minh lim n u = − ta chứng minh ( ) lim nu − = +

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Nếu lim n u a = và lim nv b = thì:

( ) lim n n u v a b • + = + ( ) lim n n u v a b • − = −

( ) lim . . n n u v a b • = lim n

n

u a v b

  • =    

(nếu 0 b  ).

Nếu lim

0,

n

n

u a

u n

=     

thì lim . 0

n u a

a

 =  

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây:

a) 2 1 lim n

n − + b)

2 16 2 lim n

n

− c) 4 lim 2 1 n +

d)

2

2 2 3 lim 2 n n n − + e) 1 lim 3 7 n − + f) ( )( )

2 lim 1 2 n n + −

g) 3 lim 2 1 n + h) 2 lim 5 7

n

n + i)

2

3 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − +

j) ( )( )

3 2 1 2 lim n n n

n n

+ − +

+ k) 4.3 5 lim 2.5 7

n n

n n + + l) ( )( )

4 7 lim

2 1 5 7

n n

n n + + +

Bài tập 2: Chứng minh các giới hạn sau đây:

a)

2

2 2 lim 2 4 n n n

+ = + b) 6 2 lim 6 5 n n

+ = + c) 7 2.8 lim 2 8 3

n n

n n − = − +

c) 2.3 5 lim 1 5 3

n n

n n + = + d) 3 sin3 3.3 lim 3n

n n  =    

− e) ( ) 2 1 lim 2 n n n + − =

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN B

BÀI TẬP TỰ LUẬN