Chuyên đề Toán 11 chương giới hạn, hàm số liên tục

169 169 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H Zalo: 0889 971 004

3 Chương

GIỚI HẠN. HÀM SỐLIÊN

TỤC

Mục lục của chương

Bài 1. Giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Bài 2. Giới hạn của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Bài 3. Hàm sốliên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

Bài 4. Ôn tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

170 170 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H Zalo: 0889 971 004

1

C

h

u

y

ê

n

đ

ề

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1) Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói dãy số(un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| nhỏhơn một

sốdương bất kì cho trước, kểtừmột sốhạng nào đó trởđi, kí hiệu lim n→+∞un = 0

hay un →0 khi n →+∞. Ta còn viết lim un = 0.

Một sốgiới hạn cơ bản:

• lim 1 nk = 0, với k nguyên dương bất kì.

• lim qn = 0, với q là sốthực thoảmãn |q| < 1.

• Nếu un ⩽vn với mọi n ⩾1 và lim vn = 0 thì lim un = 0.

K Ví dụ1 K Ví dụ1 ⋆⋆⋆⋆⋆

Tính các giới hạn sau:

a) lim 1

n2. b) lim −3

4

n .

b

Hướng dẫn giải.

a) Ta có lim 1

n2 = 0.

b) Vì −3

4

< 1 nên lim −3

4

n = 0.

2) Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số(un) có giới hạn hữu hạn là sốa (hay un dần tới a) khi n dần tới

dương vô cực, nếu lim (un −a) = 0. Khi đó, ta viết lim n→+∞un = a hay lim un = a

hay un →a khi n →+∞.

LƯU Ý. Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un = lim c = c.

171 171 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H Zalo: 0889 971 004

L Bài 1. Giới hạn của dãy số

K Ví dụ2 K Ví dụ2 ⋆⋆⋆⋆⋆

Tính các giới hạn sau:

a) lim 2 + 2

3

n . b) lim 1 −4n

n

.

b

Hướng dẫn giải.

a) Đặt un = 2 + 2

3

n ta có un −2 = 2

3

n .

Suy ra lim(un −2) = lim 2

3

n .

Vì 2 3

< 1 nên = lim 2

3

n = 0 hay lim(un −2) = 0 hay lim un = 2.

Vậy lim 2 + 2

3

n = 2.

b) Đặt vn = 1 −4n

n = 1

n −4 hay vn + 4 = 1

n.

Suy ra lim(vn + 4) = lim 1

n mà lim 1

n = 0, suy ra lim(vn + 4) = 0 hay lim vn = −4.

Vậy lim 1 −4n

n

= −4.

L

1 Cho dãy số(un) với un = 3 · 2n −1

2n . Chứng minh rằng lim un = 3.

II. CÁC PHÉP TOÁN VỀGIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY

SỐ

Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó

• lim (un + vn) = a + b.

• lim (un −vn) = a −b.

• lim (c · un) = c · a.

• lim (un · vn) = a · b.

• lim un vn = a

b (b ̸= 0).

• Nếu un ⩾0, ∀n ∈N∗thì a ⩾0 và

lim √un = √a.

K Ví dụ3 K Ví dụ3 ⋆⋆⋆⋆⋆

Tính các giới hạn sau:

a) lim n2 −2n + 1

2 −3n2 .

b) lim 2n2 + n −3

n3 + 5 .

c) lim

√

9n2 + 1

n .

d) lim √

n2 + 2n −n .

e) lim 1 + 3n

3 · 3n + 2n

.

f) lim 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + · · · + 2n

5 · 2n + 1 .

172 172 ∠ Biên soạn: Ngô Đức Tài - H Zalo: 0889 971 004

Chương 3. Giới hạn. Hàm sốliên tục

b

Hướng dẫn giải.

a) lim n2 −2n + 1

2 −3n2 = lim 1 −2

n + 1

n2 2 n2 −3 | {z } chia cảtửvà mẫu cho n2

= lim 1 −lim 2

n + lim 1

n2

lim 2

n2 −3 = 1 −0 + 0

0 −3 = −1

3.

b) lim 2n2 + n −3

n3 + 5 = lim

2 n + 1

n2 −3

n3

1 + 5

n3 | {z } chia cảtửvà mẫu cho n3

= lim 2

n + lim 1

n2 −lim 3

n3 lim 1 + lim 5

n3 = 0 + 0 −0

1 + 0 = 0.

c) Ta có

√

9n2 + 1

n =

√

9n2 + 1 √

n2 =

r

9n2 + 1

n2 =

r

9 + 1

n2.

Từđó:

lim

√

9n2 + 1

n = lim

r

9 + 1

n2 =

s

lim 9 + 1

n2

=

r

lim 9 + lim 1

n2 = √

9 + 0 = 3.

d)

lim p

n2 + 2n −n = lim ( √

n2 + 2n −n)( √

n2 + 2n + n) √

n2 + 2n + n = lim (n2 + 2n) −n2

√

n2 + 2n + n

= lim 2n √

n2 + 2n + n = lim 2n

n

r

1 + 2

n + 1

! = lim 2 r

1 + 2

n + 1

= lim 2

lim

r

1 + 2

n + 1

! = 2 r

lim 1 + lim 2

n + lim 1

= 2 √1 + 0 + 1 = 1.

e) lim 1 + 3n

3 · 3n + 2n

= lim





1 3n + 1

3 + 2

3

n



= lim 1

3n + lim 1

lim 3 + lim 2

3 n = 1

3.

f) Xét cấp sốnhân 1, 21, 22, 23, 24, . . . , 2n có sốhạng đầu tiên u1 = 1, công bội q = 2 và

có sốhạng tổng quát un = 2n ⇔u1 · qm−1 = 2n ⇔2m−1 = 2n ⇔m = n + 1.

Tổng các sốhạng của cấp sốnhân trên là Sn = u1 · qn −1

q −1 = 2n+1 −1

2 −1 = 2n+1 −1.

Suy ra lim 2n+1 −1

5 · 2n + 1 = lim 2 · 2n −1

5 · 2n + 1 = lim 2 …